Операции над высказываниями

Тема 5. Использование логических законов при работе с информацией

Цель: получить представление о методах и средствах формальной логики для решения практических задач.

Задачи:

1) определять простые и сложные высказывания, выявлять в сложных высказываниях логические связки;

2) осуществлять перевод с естественного языка на формальный и сформального на естественный язык;

3) определять значение истинности логической формулы, доказывать тождественную истинность или ложность формул, доказывать логические законы;

4) решать практические задачи с применением логических формул и таблиц истинности;

5) строить цепочки умозаключений с применением законов формальной логики.

Задания и вопросы для подготовки к занятию

1. Вы часто употребляете союзы «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда». Постарайтесь определить, в каких случаях вы их говорите. Чем будут отличаться фразы содержащие союзы «и», «или»? Приведите примеры таких выражений.

2. Чем будут отличаться фразы содержащие союзы «если…, то…», «тогда и только тогда»? Приведите примеры таких выражений.

3. Выделите союзы в следующих выражениях и объясните, что они обозначают:

А) если в четырёхугольнике: 1) противоположные стороны равны или 2) две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник есть параллелограмм;

Б) пишутся слитно наречия, если между предлогом-приставкой и существительным, из которых образовалось наречие, не может быть без изменения смысла вставлено определение (прилагательное, местоимение, числительное) или если к существительному не может быть поставлен падежный вопрос (бежать вприпрыжку, говорить наперебой, отказаться наотрез). Например: надеть фуражку набок – повернуться на бок (ср.: на правый бок); не видел отроду – двадцать лет от роду.

Теоретические сведения и образцы решения основных типов задач

Высказывания

1. Понятие высказывания

Любая научная теория воспринимается нами как некоторая система утверж­дений. Истинность каждого из них, вообще говоря, нуждается в доказательстве. В отдельных случаях такое доказательство, может проводиться опытным путем, но чаще всего оно достигается с помощью логических средств. Именно эти логические средства и изучает раздел математики, называемый математической логикой. Исходным понятием математической логики является понятие высказывания.

Определение 1. Высказыванием называется предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Примеры.

1. Предложение «Снег – белый» есть истинное высказывание.

2. Предложение «Волга впадает в Средиземное море» – ложное высказывание.

3.Предложение «2+2=10» – ложное высказывание.

Далеко не всякое предложение является высказыванием. В частности, вопросительные и восклицательные предложения не относятся к высказываниям. Например, по поводу предложения «Который час?» не имеет смысла ставить вопрос, истинно оно или ложно; то же самое относится, скажем, к предложению «Мойте руки перед едой!» Не являются высказываниями и такие предложения, которые служат определениями чего-либо, например: «Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны».

Существуют предложения, которые безусловно являются истинными или ложными, однако в силу недостаточности наших знаний мы не можем в данный момент сказать точно, истинны они или ложны. Например, «Земля – единственная обитаемая планета во Вселенной» или «Всякое четное число есть сумма двух простых» (нерешенная до конца проблема теории чисел). Предложения такого типа мы также считаем высказываниями.

Из всех свойств высказывания нас будет в дальнейшем интересовать только одно: Истинно оно или ложно. Все же прочие свойства высказывания, например особенности его грамматической формы, смысловое значение отдельных слов и всего высказывания в целом, будут оставаться как бы вне поля зрения.

В дальнейшем будем обозначать высказывания заглавными буквами латинского алфавита: P, Q, R и т.д.

2. Значение истинности высказывания

Условимся каждому истинному высказыванию сопоставлять число 1, а ложному – число 0. Иначе говоря, введем на множестве всех высказываний функцию , которая принимает значения 1 или 0 в зависимости от того, истинно высказывание Р или ложно:

Определение 2. Число называется значением истинности высказывания Р.

Так, для высказывания Р: «В неделе 7 дней» , а для высказывания Q: «Волга впадает в Средиземное море» .

Операции над высказываниями

Будем считать, что имеется некоторая первоначальная совокупность выска­зываний, называемых элементарными (или исходными). Исходя из этих высказываний, с помощью, так называемых, логических операций строят новые (сложные) высказывания.

Каждой логической связке сложного высказывания соответствует логическая операция, имеющая свое символьное обозначение (см. табл. 1).

Таблица 1

Поиск по сайту: