Задания для работы на занятии

Тема 4. Математические модели в науке как средство работы с информацией, её представления и обработки

Вопросы для подготовки к занятию

1. Что понимают под фразами, когда говорят «модель обуви», «модель машины», «модель вселенной», «модель атома» и т.п.

2. Приведите примеры математических моделей. Поясните моделями «чего» они являются.

3. Как вы думаете, моделью какой практической ситуации может быть выражение 3 + 2?

4. С какими моделями вы встречались на уроках физики, математики, химии, русского языка, истории? Сравните их. Есть ли общие свойства у этих моделей?

Теоретические сведения и образцы решения основных типов задач

Термины «модель» и «моделирование» происходят от латинского слова modus, modulus – мера, образ, способ.

Под модельюпонимают такой материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замешает объект – оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования свойства и отношения. Например, модель жилого дома - это материальный объект (картон, гипс или др.материал), у которого сохранены следующие свойства – перпендикулярность стен относительно пола, параллельность пола и потолка и другие.

Модель может служить средством познания объекта, давать новые знания о нем в том случае, если она выступает своего рода мостиком, соединяющем исследователя с объектом познания. Выделяют следующие функции модели:

1) облегчает понимание устройства реального объекта: его структуры, основных свойств, законов развития и взаимодействия с окружающим миром;

2) способствует пониманию управления реальным объектом (или процессом) и определению наилучших способов управления им при заданных целях и критериях;

3) облегчает прогнозирование прямых и косвенных последствий реализации способов и форм воздействия на объект.

Моделирование – процесс создания, разработки моделей и их применения для познания новых свойств, новых качеств, новых адекватных по структуре или функциям объектов в определенной сфере деятельности человека. Сегодня моделирование является основным методом научного познания.

Модели и их виды

В основе общепризнанной классификации научных моде­лей лежит материалистическое понимание модели как средст­ва отображения, воспроизведения той или иной части дейст­вительности с целью ее более глубокого познания.

Так, в зависимости от способа построения моделей, от средств, какими производится моделирование изучаемых объ­ектов, все модели могут быть разделены на два класса: материальные (вещественные, реальные) и идеальные (мысленные, воображаемые).

Таблица 1. (файл табл-модели)

Приведем примеры моделей из различных научных направлений

Выделенные из листьев хлоропласты. На выделенных системах часто изучают процессы, происходящие в живой системе, в этом смысле фрагмент является моделью целой живой системы. Выделение более простой системы позволяет исследовать механизмы процессов на молекулярном уровне. Говорят, что изученные на выделенном хлоропласте первичные процессы фотосинтеза являются моделью первичных процессов фотосинтеза в живом листе. К сожалению, этот метод фрагментирования приводит к тому, что "…живой ковер жизни распускается по ниточкам, каждая ниточка досконально изучается, но волшебный рисунок жизни оказывается утрачен" (лауреат Нобелевской премии по биохимии Л. Поллинг).

Аквариум является примером физического моделирования. В аквариуме можно моделировать водную экосистему – речную, озерную, морскую, заселить ее некоторыми видами фито- и зоопланктона, рыбами, поддерживать определенный состав воды, температуру, даже течения и строго контролировать условия эксперимента. Какие компоненты естественной системы будут воспроизведены, и с какой точностью, зависит от цели моделирования.

Популяция дрозофилы, является классическим объектом моделирования микроэволюционного процесса и примером исключительно удачно найденной модели. Еще более удобной моделью являются вирусы, которые можно размножать в пробирке. Хотя не вполне ясно, справедливы ли эволюционные закономерности, установленные на вирусах, для законов эволюции высших животных.

Из приведенных примеров видно, что любая модель обладает конкретными свойствами физического объекта. В этом ее преимущества, но в этом и ее ограничения.

Компьютерные модели содержат "знания" об объекте в виде математических формул, таблиц, графиков, баз данных и знаний. Они позволяют изучать поведение системы при изменении внутренних характеристик и внешних условий, проигрывать сценарии, решать задачу оптимизации. Однако каждая компьютерная реализация соответствует конкретным, заданным параметрам системы. Наиболее общими и абстрактными являются математические модели.

Если удается сконструировать "хорошую" математическую модель, для ее исследования можно применить весь арсенал науки, накопленный за тысячелетия. Недаром многие классики независимо высказывали одну и ту же мудрую мысль: «Область знания становится наукой, когда она выражает свои законы в виде математических соотношений».

Математическое моделирование

Особую роль в науке играют математические модели, строительный материал и инструменты этих моделей – математические понятия. Современная математика дает исключительно мощные и универсальные средства исследования. Практически каждое понятие в математике, каждый математический объект, начиная от понятия числа, является математической моделью. При построении математической модели, изучаемого объекта или явления выделяют те его особенности, черты и детали, которые с одной стороны содержат более или менее полную информацию об объекте, а с другой допускают математическую формализацию. Математическая формализация означает, что особенностям и деталям объекта можно поставить в соответствие подходящие адекватные математические понятия: числа, функции, матрицы и так далее. Тогда связи и отношения, обнаруженные и предполагаемые в изучаемом объекте между отдельными его деталями и составными частями можно записать с помощью математических отношений: равенств, неравенств, систем уравнений. В результате получается математическое описание изучаемого процесса или явление, то есть его математическая модель. Математическое моделирование – один из наиболее экономичных, точных и эффективных методов теоретического анализа, обобщающего формулирования и экспериментально контролируемого описания объективных свойств и отношений реальности.

Процесс построения математических моделей реально функ­ционирующих систем очень сложен. Построение такой модели оценивается как выдающееся открытие. Так, в 1952 г. англича­не Ходжкин А.Л. и Хаксли Э.Ф. построили математическую модель, имитирующую распространение нервного импульса в живом организме. За это достижение они были удостоены Но­белевской премии в 1963 году. Предложенная модель пред­ставляет собой систему дифференциальных уравнений, описы­вающих распространение нервного импульса. При этом оказалось, что модельные расчеты и полученные эксперимен­тальные данные хорошо согласуются. Важность построенной модели для развития науки состояла в том, что, исходя из не­большого количества экспериментальных данных, оказалось возможным объяснить с единой позиции ряд явлений, которые ранее казались независимыми, а также предсказать новые. Во­обще ценность модели состоит в том, что она описывает боль­шой круг явлений на основании небольшого количества экспе­риментальных данных.

Например, равенство n = может быть моделью следующих задачных ситуаций:

1) средняя продолжительность жизни в России у мужчин 59 лет, у женщин – 71 год. На сколько процентов продолжительность жизни у женщин больше по сравнению с мужчинами?

n =

2) стоимость обучения за год составила 60200 руб., учитывая инфляцию, второй год обучения стоил 62000 руб. На сколько процентов увеличилась стоимость обучения?

n =

3) средняя плотность ионов в атмосфере 1400 ионов в см³. Содержание отрицательных ионов – 600 ионов в см³. На сколько процентов содержание положительных ионов больше, чем отрицательных?

n=

Математическое моделирование используется:

- для численного экспериментирования или численного оценивания в условиях, когда проведение реального эксперимента связано с большими затратами;

- для ознакомления, изучения и совершенствования новых объектов;

- для проверки или демонстрации новой идеи или метода;

- как средство планирования и прогнозирования.

Когда вы начали изучать геометрию (планиметрию), вы познакоми­лись с геометрией Евклида — моделью окружающего нас мира, в которой все объекты состоят из простейших геометрических фигур: точек, прямых или их частей и плоскостей или их частей.

Требования к модели

С одной стороны, модель должна быть достаточно полной, то есть в ней должны быть учтены все факторы, от которых существенно зависит поведение исследуемого объекта. С другой стороны, модель должна быть достаточно простой, чтобы возможно было установление зависимости между параметрами, входящи­ми в нее.

В зависимости от математических понятий и методов, которые ис­пользуются для моделирования изучаемых явлений реальности, математи­ческие модели подразделяются: на функциональные; стохастические (вероятностные); алгоритмические; логико-математические; информационные; топологические.

Количество математических понятий, которое приходится использо­вать для описания модели некоторого явления, может служить мерой слож­ности этого явления.

Цель моделирования (как математической деятельности) — выделение комплекса свойств, присущих данному объекту или явлению, и описание их средствами математики.

Обычно модель записывается с помощью уравнений или неравенств. В результате изучения этих моделей часто возникают другие математиче­ские структуры.

Этапы математического моделирования

1. Постановка задачи, определение целей моделирования (исследова­тельской задачи, решение которой и должно быть получено посредством использования модели). Примеры формулирования целей: получение сведений об устройстве конкретного объекта, его структуре, свойствах, зако­нах развития и взаимодействия; управление объектом; прогнозирование воздействия на объект.

2. Ранжирование свойств объекта — разделение его свойств по степе­ни важности и влияния. Создание (выбор) модели.

3. Исследование модели (опосредованное изучение моделируемого объекта).

4. Сопоставление полученных данных с данными об оригинале.

5. Перенос знания (правила перевода высказываний о модели в выска­зывания об оригинале). Здесь возможно появление ошибок. Поясним каждый из выделенных этапов.

Пример. Изучить четырёхэтажный учебный корпус.

Cформулированная таким образом цель не позволяет определить что-либо. Поскольку изучение объекта (в данном случае учебного корпуса) может про­ходить по нескольким, принципиально различным друг от друга направле­ниям. Например: 1) определить объём (площадь) учебных (служебных) по­мещений в этом здании; 2) определить количество краски, которое потребу­ется для окраски стен всех лестничных площадок; 3) определить, можно ли построить такой же корпус на соседнем пустыре, если известны размеры пустыря (пренебрегая особенностями грунта).

Заметим, что в первом случае существенными характеристиками объ­екта будут размеры аудиторий в этом здании. При этом предполагаем, что все аудитории, одинаково расположенные, имеют одни и те же размеры. Заме­тим, что, пренебрегая возможными отклонениями в размерах аудиторий од­ного типа, мы уже закладываем погрешность результата.

Во втором случае существенными характеристиками будут размеры лестничных клеток.

А в третьем случае — размеры основания корпуса.

При составлении математической модели необходимо тщательно изу­чить само явление, установить характерные связи между величинами, его характеризующими, установить присущие ему основные свойства, которые следует учитывать при его изучении. Все это и определяет используемый математический аппарат исследования, точность описания, глубину соот­ветствия модели изучаемому явлению.

Построение любой математической модели начинается с абстрагиро­вания. Процесс абстрагирования в математике имеет свои характерные особенности, отличающие его от аналогичного процесса в других науках, поскольку способы абстрагирования зависят от природы изучаемых объек­тов, характера и целей их изучения.

После того как модель составлена и принята, начинается собственно составление математической схемы применения избранного моделью ма­тематического аппарата. Чисто логическим путем составляются различного рода уравнения между числовыми характеристиками явлений, выводятся следствия. Далее проверяется соответствие модели исследуемому явлению.

Чаще рассматривается более простая схема математического моделирования:

- формализация (запись соотношений между исследуемыми величинами в виде математических равенств или неравенств);

- математизация (исследование полученного математического объекта математическими средствами);

- интерпретация (формулировка полученного результата в терминах исходной задачи).

Рассмотрим решение экономической задачи, с выделением этапов моделирования.

Задача: допустим, что все затраты фирмы определяются только расходами на оплату труда работников. Будем считать, что все остальные ресурсы не влияют на затраты фирмы. Еженедельный выпуск продукции зависит от количества нанятых рабочих следующим образом:

Q(L) = – 4 L² + 760L (эта формула – модель процесса, которая была получена ранее). Недельная ставка нанятого рабочего составляет 80 усл.ед. Производимый товар фирма реализует на конкурентном рынке по цене 10 усл.ед. за единицу товара. Если фирма нанимает работников на конкурентном рынке труда, то сколько работников нужно нанять владельцу фирмы, чтобы получить максимальную прибыль? Какое количество продукции произведут эти работники за неделю?

Решение.

1 этап – формализация.

Поскольку в данной задаче все издержки фирмы определяются только затратами на оплату труда рабочих, то общие издержки будут определяться формулой: S(L)=80L. Выражение для функции прибыли будет иметь вид: R(L)=10(– 4 L² + 760L) – 80L = – 40 L² + 7520L.

2 этап – математизация.

Исследуем полученную функцию на наибольшее значение (максимальная прибыль). Поскольку функция квадратичная с отрицательным старшим коэффициентом, то наибольшего значения она достигнет при L= =94 (в точке вершины параболы). При этом значение функции составляет R(94)=353440.

3 этап – интерпретация.

Владельцу фирмы следует нанять 94 работников, которые за неделю будут производить 353440 ед.продукции.

Задания для работы на занятии

1.1. Составьте схему, иллюстрирующую классификацию моделей. Можно ли её рассматривать в качестве модели множества моделей, используемых в современной науке? Если да, то к какому виду моделей её можно отнести?

1.2. Найдите примеры моделей, которые используются в различных науках (в вашей будущей профессиональной деятельности). Определите, к какому классу они принадлежат.

1.3. Как вы думаете, от чего зависит сложность математической модели? Приведите примеры математических моделей физических, химических, биологических процессов и явлений.

1.4. Как вы думаете, есть ли математические модели в таких областях как педагогика, психология, филология? Приведите примеры различных моделей из этих наук.

1.5. Решите следующие задачи, составив математическую модель: Каждый, кто ездил на поезде, слышал, как стучат колеса на стыках рельсов. С помощью этого ритмичного стука и часов можно определить скорость поезда. Как это сделать? (выразите скорость поезда через количество стуков n за минуту, если длина рельса 25 м)

1.6. Студент купил в магазине флакон 70 % уксусной кислоты и решил приготовить соус для пельменей, в котором используется 4% уксус. Напишите формулу для расчета объема 4% уксуса, который можно получить из объема V кислоты. Сколько надо взять кислоты и воды, чтобы получить пол-литра уксуса? (отв. 70V/4, 29мл, 471 мл)

1.7. Заработная плата учителя составляет х руб., к которым начисляется 15 % «уральский коэффициент». Из общей суммы взимается 1% в пенсионный фонд и 2 % профсоюзный взнос. Заработная плата облагается также 12,5% подоходным налогом (кроме z руб., равных минимальной заработной плате). Составьте формулу для вычисления суммы, которую получит учитель. (отв. z +(1,5x – z) 0,88 – 1,15x 0,02 = 0,989x+0,12z)

1.8. При поступлении товара в магазин его цену повышают на 25 %, по окончанию сезона (или срока годности) цену понижают на 25 %. Сколько процентов составила новая цена от первоначальной (при поступлении)? (отв.93,75%)

1.9. В роме Жюль Верна «Дети капитана Гранта» читаем: «погода стояла прекрасная, не слишком жаркая…Роберт узнал, что средняя годовая температура в провинции Виктория +74⁰ по Фаренгейту». Сколько же будет в привычных для нас градусах Целься? Составьте формулу для вычисления температуры в градусах Цельсия, если известна температура по Фаренгейту. Найдите формулу для обратного перевода.

(отв. F= 32+1,8Т, 23,3⁰)

1.10. На диаграмме показано содержание питательных веществ в молочном шоколаде. Определите по диаграмме, содержание каких веществ преобладает.

1.11.На диаграмме показан возрастной состав населения Индонезии. Определите по диаграмме, население какого возраста преобладает.

1.12.Определите, в каком продукте больше жиров? Углеводов? Белков? Где находятся витамины и минералы в этих продуктах?

1.13.При резком торможении расстояние, пройденное автомобилем до полной остановки (тормозной путь), зависит от скорости, с которой автомобиль двигался. На рисунке показан график этой зависимости (для сухой асфальтовой дороги). По горизонтальной оси откладывается скорость (в км/ч), по вертикальной – пройденное до полной остановки расстояние (в метрах). Определите по графику, с какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль, чтобы его тормозной путь был не длиннее 50 метров.

1.14.В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортерной ленте. При проектировании транспортера необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортера. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортера к горизонту при расчетной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъема в градусах, на оси ординат – сила натяжения транспортерной ленты (в килограммах силы). Определите по рисунку, чему (в кгс) равна сила натяжения транспортерной ленты при угле наклона?

1.15.Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат – сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 400 км/ч?

1.16.Для доказательства или опровержения утверждений покажите их графические модели.

1) Через любые три точки проходит не более одной прямой.

2) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

3) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны.

4) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы составляют в сумме, то эти две прямые параллельны.

5) Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны.

6) Через любую точку проходит более одной прямой.

7) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

8) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

9) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

10) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

11) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме , то эти две прямые параллельны.

12) Через любую точку проходит более одной прямой.

1.17.Мальчик прошел от дома по направлению на восток 450 м. Затем повернул на север и прошел 240 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

1.18. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 400 м. Затем повернул на север и прошел 300 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

1.19. Каждой из перечисленных ниже реальные ситуаций соотнесите график функции (а-з), который описывает ее.

Ситуация 1: на голове человека растут волосы, которые тот регулярно стрижет (х – время, прошедшее от одной из стрижек, у – длина определенного волоса).

Ситуация 2: через каждый час рабочего времени на склад сдают изготовленные детали (х – время работы, у – количество деталей на складе).

Ситуация 3: у человека есть деньги, которые он тратит на покупки (х – время, у – количество денег у гражданина).

Ситуация 4: яблоко растет, затем его срывают и сушат (х – время работы, у – масса яблока).

Ситуация 5: вода на поверхности озера в течение года (х – время, прошедшее с начала года, у – температура верхнего слоя воды).

Ситуация 6: через каждый час рабочего времени на склад сдают изготовленные детали (х – время работы, у – количество деталей на складе).

Ситуация 7: мяч подняли над полом и выпустили из рук (х – время, у – высота мяча над полом).

Ситуация 8: растет апельсин, затем его срывают и сушат (х – время, у – масса апельсина).

а) б) в) г)

д) е)

ж) з)

1.20. Длина автомобильного моста через Каму в Перми 1050 м (при 0⁰С). Найдите зависимость его длины от температуры Т окружающего воздуха. Как изменится длина моста, когда температура меняется от – 20⁰ до + 20⁰? Из курса физики вам известно, что тела при нагревании расширяются, при этом их линейные размеры увеличиваются и могут быть вычислены по формуле L= L₀(1+αT), где L₀ – длина тела при температуре 0⁰С, Т – температура в ⁰С, α – коэффициент линейного расширения (для бетона он равен 12 10^-6), L – длина тела при температуре Т).

Задания для самостоятельной работы и вопросы для самопроверки

1) Разъясните содержание понятий: модель и моделирование.

2) Чем отличаются представления о модели, которые используются в математике и естественных науках?

3) Назовите процессы из различных областей знаний, которые могут быть заданы с помощью формул: a) у=kx; б) y=kx+b; в) у=kх²?

4) Почему числовой ряд Фибоначчи называют биологической моделью?

5) Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

6) Одна из формул, рекомендующих «идеальную» массу человека m, выраженную в килограммах, при данном его росте h (в см) m=h – 105. Постройте график этой функции. Найдите идеальную массу при росте 150 см, 160 см, 175 см.

7) Ежегодный прирост древесины на опытном участке составляет 10%. Какое количество древесины будет на участке через 10 лет, если сейчас её 10⁵ куб.м?

8) В Сбербанке РФ по программе «Достойная пенсия» вкладчику начисляется 20 % от сданной на хранение суммы в год. Через сколько лет первоначальная сумма увеличится более чем в 2 раза, в 5 раз? Запишите зависимость суммы от срока хранения – математическую модель, если первоначальный взнос х руб., срок вклада n лет. Изменится ли зависимость, если проценты начисляются ежегодно на новую сумму?

9) Температура Т остывающего чайника с кипятком в момент времени t (мин) вычисляется по формуле Т=20 + 80 : 2^0,1t. Определите, какой температуры будет чайник через 10 мин, 20 мин, 30 мин, 1 ч?

10) В котеджном поселке нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Поиск по сайту: