Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов
Пусть
- сложная годовая учетная ставка;
- относительная величина сложной учетной ставки;
kну – коэффициент наращения для случая учетной ставки;
f – номинальная годовая учетная ставка.
Тогда по прошествии n лет наращенная сумма S в соответствии с формулой 2.5 составит
(4.1)
отсюда для множителя наращения имеем
(4.2)
сравнивая формулы 3.1 и 4.1, легко видеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее.
Поэтому в литературе часто можно встретить утверждение, что декурсивный метод начисления более выгоден для заемщика, а антисипативный – для кредитора.
Для периода начисления, не являющегося целым числом, имеем
(4.3)
при учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма превращается в
(4.4)
для начисления процентов m раз в году формула имеет такой вид:
(4.5)
или
(4.6)
при этом mn – целое число интервалов начисления за весь период начисления, l – часть интервала начисления.
При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по формуле:
(4.7)
из полученных формул путем преобразований получаем формулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
мы рассмотрели различные способы начисления процентов. В заключении составим таблицу, дающую возможность наглядного представления результатов, получаемых при этих способах для одной и той же первоначальной суммы, одинаковых по величине процентных ставок и периодов начисления n.
Таблица 1. величина наращенной суммы в зависимости
От вида процентной ставки
Р=10 000 ам.долл., величина процентной ставки – 10%.
Величина наращенной суммы
n=1
n=3
n=6
S=P(1+in) простые проценты
11 000
13 000
16 000
S=P(1+i)^n сложные проценты
11 000
13 310
17 716
S=Pe^jn непрерывное начисление
11 052
13 499
18 222
S=P/(1-dn) простые учетные ставки
11 111
14 286
25 000
S=P/(1-d)^n сложные учетные ставки
11 111
13 717
18 816
Пример 15.
Первоначальная сумма долга равняется 25 000 000 руб. определить величину наращенной суммы через три года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая ставка – 25%.
Решение.
По формулам 3.1 и 4.1 получаем
S1=25 000 000(1+0.25)^3=48 828 125 руб.
S2=25 000 000/ (1-0.25)^3= 59 255 747 руб.
Пример 16.
Определить современное значение суммы в 120 000 000 руб., которая будет выплачена через два года, при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.