Рассмотрим применение данного метода на примере электрических цепей. Как правило, она включает резистивные (R,G) и динамические (L,C) пассивные элементы, а также источники энергии: независимые источники напряжения E и тока J, управляемые источники напряжения ИНУН, ИНУТ и тока ИТУН, ИТУТ. Каждый из этих элементов можно рассматривать как конечный элемент электрической цепи или компонент схемы. Множество таких элементов образует элементный базис. В качестве конечного элемента цепи можно рассматривать обобщенную электрическую ветвь и ее частные случаи (рис. 15).
Рис. 15
Для каждого компонента схемы можно на основании законов Ома и Кирхгофа записать компонентное уравнение:
— резистивный элемент R
, , ,
j- i+ ;
— индуктивный элемент L
, , ,
— емкостной элемент C
, , ,
- короткозамкнутая ветвь i- j=
- источник тока I =J
- источник напряжения i- j+ =
- обобщенная ветвь
- R- ветвь i- j=
- G- ветвь i- j)
Состояние электрической цепи зависит не только от элементов схемы, но и от способа их соединения. Для узлов и контуров схемы записывают уравнения электрического равновесия на основании законов Кирхгофа. Они выражают связь между напряжениями и токами ветвей и называются топологическими. Это определяющие уравнения. Анализ электрических цепей проводится методами контурных токов и узловых потенциалов. Предпочтение отдается последнему, так как при формировании узловых уравнений нет необходимости выбирать взаимно независимые контуры цепи.
В методе узловых потенциалов взаимно независимые уравнения записываются на основании первого закона Кирхгофа. Искомые переменные - узловые потенциалы, которые образуют однородный координатный базис узловых уравнений. Однако в нем нельзя описать короткозамкнутую ветвь, содержащую только идеальный источник ЭДС, схемы с операционными усилителями и некоторыми типами управляемых источников. Такие элементы называются нерегулярными. Чтобы получить более универсальный метод, однородный координатный базис расширяют за счет токов ветвей нерегулярных элементов. Систему уравнений в новом базисе называют системой расширенных узловых уравнений, а метод анализа электрических цепей — модифицированным методом узловых потенциалов или методом расширенных узловых уравнений (РУУ).
При формировании РУУ каждый конечный элемент схемы необходимо представить в матричной форме записи. Например, для резистора R, заключенного между узлами i и j, справедливы соотношения, которые в матричной форме записывают следующим образом:
i j R
=
i j
. = .
Матричные уравнения для элемента R называют ‘’штампом’’ резистора, а матрицу коэффициентов — матрицей жесткости элемента.
В таблице приведены штампы элементов наиболее часто встречающихся в линейных электрических цепях.
Ветвь, ток которой выражают через узловые потенциалы и проводимость, называют G (Y)- ветвь. Ветвь, ток которой в система РУУ является искомой переменной, называют R (Z)- ветвью.
При формировании РУУ в качестве узлов рассматривают места соединений двух и более элементов схемы, а в качестве ветвей - каждый двухполюсный элемент. Схему анализируют поэлементно, осуществляя прямое суммирование матриц — “штампов” этих элементов. Первые У-1 строк соответствуют записи первого закона Кирхгофа, остальные — компонентные уравнения R- ветвей и нерегулярных элементов. Для примера получим систему РУУ для схемы, изображенной (рис. 16):
Схема содержит три незаземленных узла, четыре R- элемента и один нерегулярный элемент Е. Следовательно, матрица жесткости элементов имеет размерность , в которой резисторы R будем учитывать как G-ветвь.
Запишем выражение, учитывающее в системе РУУ только резистор R1:
Далее аналогично учитываем резистор R2:
После учета R3 имеем:
После учета R4 имеем:
Окончательно с учетом источника Е1 получаем систему РУУ:
Решение этой системы дало следующий результат: 1=100 В; 2=29,268 В; 3=4,878 В; I1=3,536 A.
Рассмотрим алгоритм формирования узловых уравнений в однородном базисе. В качестве конечного элемента удобнее взять обобщённую к-ю ветвь (или её частные случаи), присоединенную к паре узлов i и j (рис. 1). Матрица жесткости в этом случаи есть матрица узловых и взаимных проводимостей Gy. Узловые проводимости учитываются со знаком плюс, взаимные — со знаком минус. Правая часть уравнений есть узловой ток Jy, равный алгебраической сумме токов J источников тока и токов Gк, Eк источников ЭДС (со знаком плюс берется ток, направленный к рассматриваемому узлу). Каждая строка системы соответствует первому закону Кирхгофа, поэтому направленный от i к j узлу ток Iк учитывается в i строке с положительным знаком, а в j строке с отрицательным знаком. Окончательно k-я ветвь в системе узловых уравнений представляют в виде:
и называют “штампом” ветви. Это представление соответствует рис. 1.
Матрицы узловых проводимостей Gy и токов Jy получают прямым суммированием “штампов” ветвей. Для этого информацию о ветвях удобнее свести в таблицу, в которой указывают номера узлов, между которыми включена ветвь (первый узел соответствует началу ветви) и параметры Rк, Jк, Eк.
Рассмотрим электрическую цепь, параметры которой заданы в виде таблицы:
Узловая матрица проводимостей имеет размерность , узел “0”- базовый. Учитываем в этой матрице
- первую ветвь
- вторую ветвь
- третью ветвь
- четвертую ветвь
- пятую ветвь
- шестую ветвь
Следовательно, узловые уравнения в матричной форме записи имеют вид:
Решая эту систему, находим:
=22,72 В; =24,20 В; =22,68 В.
Решение задач в однородном базисе обусловлено хорошей численной обусловленностью решаемой системы уравнений (диагональные элементы матрицы узловых проводимостей имеют наибольшее значения). В качестве решения получают вектор независимых узловых потенциалов.
Сравнение РУУ с последней системой показывает, что матрица первой имеет сравнительно высокий порядок и весьма разрешена. Решение таких систем требует специальных алгоритмов.