Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Анализ цепей по законам Кирхгофа



Теоретические

Основы электротехники

 

Практикум на ЭВМ

 

 

Красноярск
СФУ
2012

УДК 621.313(07)

 

 

Составители: В.В. Кибардин – к.т.н., доц. каф. ЭГМП

О.А. Кручек – ст. преп. каф ЭГМП

В.А. Меньшиков – к.т.н., доц. каф. ЭГМП

Теоретические основы электротехники.Практикум на ЭВМ. Для студентов специализации 130400.65.00.10 “Электрификация и автоматизация горного производства ” (укрупнённая группа 130400.65 – Горное дело) [Текст]/ сост. В.В. Кибардин, О.А. Кручек, В.А. Меньшиков. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2012. - 32 с.

 

Практикум на ЭВМ содержит наиболее характерные задачи по теории линейных электрических цепей. Они подобраны в соответствии с программой ТОЭ. Для выполнения расчётов используются пакеты прикладных программ EWB, MATLAB и Mathcad.

УДК 621.313(07)

 

© Сибирский

федеральный

университет,


Оглавление

ВВЕДЕНИЕ. 4

1. РАСЧЁТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.. 5

С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННЫХ ЭДС И ТОКОВ.. 5

1.1. Анализ цепей по законам Кирхгофа. 5

1.2. Метод контурных токов. 9

1.3. Метод узловых потенциалов. 11

1.4. Метод эквивалентного источника. 14

1.5. Баланс мощностей в электрических цепях. 16

2. МАТРИЧНО-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ.. 16

3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.. 20

3.1. Конечные элементы электрических цепей. 20

ПРИЛОЖЕНИЕ. 28

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 32

 


ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания предназначены в первую очередь для студентов, изучающих «Теоретические основы электротехники».

Расчёт линейных электрических цепей постоянного и синусоидального тока целесообразно выполнять с применением пакетов прикладных программ MATLAB, Mathcad, EWB и других. Основная цель – научить студента самому находить наиболее рациональный способ решения той или иной задачи с помощью современных программных продуктов, доступных в электротехнических лабораториях университета.

Предполагается, что студенты знакомы с основными методами анализа электрических цепей постоянного и гармонического тока.

 


РАСЧЁТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННЫХ ЭДС И ТОКОВ

 

Основной задачей расчета электрических цепей является определение токов I, напряжений Uи мощностей ветвей Pцепи по заданным их сопротивлениям R, проводимостям G и источникам электрической энергии E или J. Эти задачи имеют единственное решение, которое для линейных цепей может быть получено составлением и решением системы алгебраических уравнений с учётом законов Кирхгофа, Ома и Джоуля-Ленца. В общем случае имеем 2b линейно независимых уравнений, если цепь содержит b ветвей и q узлов. Иногда в рассматриваемой цепи имеется bИТ ветвей, в которых содержатся идеализированные источники тока J , и bИН ветвей, составленных только из идеализированных источников напряжения E , поэтому общее число неизвестных напряжений и токов уменьшается до 2b – bИТ – bИН .

На практике для анализа цепей применяют различные методы составления уравнений электрического равновесия, позволяющие уменьшить размерность исходной системы уравнений.

 

Анализ цепей по законам Кирхгофа

 

Методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа, позволяют уменьшить число одновременно решаемых уравнений до b.

Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узле, равна нулю

ΣIq = 0, (1)

где с положительным знаком учитываются токи, направленные от узла.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на ветвях любого контура равна нулю

ΣUk = 0, (2)

или в любом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур

ΣRkIk = Ek, (3)

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и э.д.с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.

При составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выполнить эквивалентные преобразования, выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить q – 1 уравнение на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить b – (q – 1) уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.

Получить независимые уравнения по первому и второму законам Кирхгофа, т.е. выбрать независимую систему сечений и контуров, можно при помощи дерева графа схемы, содержащего все узлы графа, но ни одного контура, и ветвей связи, дополняющих дерево до исходного графа.

Если граф содержит b ветвей и q узлов, то число ветвей дерева d=q-1,

а число ветвей связи k = b - (q-1). Для дерева образуется d главных сечений, каждое из которых состоит из ветвей связи и одной ветви дерева, и k главных контуров, каждый из которых состоит из ветвей дерева и только одной ветви связи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа для главных сечений и главных контуров, линейно независимы.

Следует помнить, что на графе электрической цепи ветви, содержащие идеальные источники тока, не показываются.

Например, для сложной электрической цепи (рис. 1) её граф представлен на рис. 2. Он содержит пять ветвей, следовательно необходимо записать пять уравнений: из них два на основании первого закона Кирхгофа (q – 1 = 3 – 1 = 2), остальные – на основании второго закона Кирхгофа.

Исходная система уравнений запишется в виде

уз. 1 -I1 - I2 - I3 = J3

уз. 2 I3 - I4 + I5 = -J3 +J4

контур 1-2 -R1I1 + R2I2 = -E1 - E2

контур 4-5 R4I4 + R5I5 = E5

контур 1-5-3 -R1I1 + R3I3 - R5I5 = -E1 + E3 - E5

 

1 3 2

   

 

Рис. 1 Рис. 2

 

Если Е1 = 3 В, Е2,5 = 2 В, Е3 = 1 В, J3 = 1 A, J4 = 0,5 A, R1 = 4 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 2 Ом, R4 = 8 Ом, R5 = 10 Ом, то

(4)

или

 

,

А*I = В.

Это система линейных алгебраических уравнений, которую целесообразно решать с помощью MATLAB или Mathcad.

Решение в MATLAB: для решения системы линейных алгебраических уравнений существует три формы записи – I = A-1*B; I = inv(A)*B и I =A\B.

>> A=[-1 -1 -1 0 0;0 0 1 -1 1;-4 6 0 0 0;0 0 0 8 10;-4 0 2 0 -10]

A =

-1 -1 -1 0 0

0 0 1 -1 1

-4 6 0 0 0

0 0 0 8 10

-4 0 2 0 -10

>> B= [1;-0.5;-5;2;-4]

B =

1.0000

-0.5000

-5.0000

2.0000

-4.0000

>> I=inv(A)*B

I =

0.2739

-0.6508

-0.6231

0.0427

0.1658

>> I=A^-1*B

I =

0.2739

-0.6508

-0.6231

0.0427

0.1658

>> I=A\B

I =

0.2739

-0.6508

-0.6231

0.0427

0.1658

Решение в Mathcad: решение системы линейных алгебраических уравнений также можно получить из выражения I = A-1*B. Имеется также встроенная функция lsolve(A,B).

 

 

 

Очевидно, что расчёты дают одинаковый ответ.

Аналогичный результат получен и с помощью пакета схемотехнического моделирования EWB (рис. 3).

Рис. 3

Метод контурных токов

 

Метод контурных токов основан на важной топологической особенности электрических цепей, вытекающей из первого закона Кирхгофа и заключающейся в том, что токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей (ветвей связей). Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из p – pит – q + 1 уравнений, называемых контурными уравнениями. Их получают с помощью второго закона Кирхгофа.

Для того чтобы сформулировать правила составления контурных уравнений, введём понятие контурных токов, сопротивлений, Э.Д.С.

Контурный ток Ik – это расчётная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура.

Собственное сопротивление контура Rk – сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур.

Сопротивление ветвей, входящих в два смежных контура, называются общими или взаимными сопротивлениями контуров (Rk).

Алгебраическая сумма Э.Д.С. данного контура называется контурной Э.Д.С. (Еk).

Рекомендуется следующий порядок составления уравнений с контурными токами:

- в заданной схеме выбирают направление токов в ветвях (произвольно);

- строят граф схемы, переходят к дереву графа схемы, определяют независимые контуры и направления контурных токов;

- определяют контурные Э.Д.С., собственные и взаимные сопротивления контуров;

- записывают исходную систему уравнений и решают её любым известным способом.

Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рис. 4, где

R1=30 Ом, R2=20 Oм, R3=20 Ом, R4=40 Ом, R5=60 Ом, R6=40 Ом, R7=10 Ом, J7=0,4 A, Е3=3В, E4=4 В, Е6=18 В.

Для графа схемы (рис. 5) выбираем дерево (ветви 2-5-3-7). Образуем главные контуры, присоединив к ветвям дерева по одной ветви связи.

III
II
I

 

 

Рис. 4
Рис. 5

 

Далее находим:

- контурные ЭДС

ЕІ1 = -Е3 = -3 В;

Е22 = Е6 + Е3 + R7I7 = 18 + 3 + 10*0,4 = 25 В;

ЕIII = Е4 = 4 В;

- сопротивления контуров:

RI1 = R1 + R2 + R3 = 70 Ом ;

R22 = R3 + R5 + R6 + R7 = = 130 Ом ;

RIII = R2 + R4 + R5 = 120 Ом;

- общие сопротивления контуров:

RI2 = R3 = 20 Ом; RI3 = R2 = 20 Ом; R23 = R5 = 60 Ом.

Записываем исходную систему уравнений

(5)

которую решаем на ПЭВМ:

 

; ; .

 

На рис. 6 представлено схемотехническое моделирование в среде EWB.

 

Рис. 6

Токи ветвей равны разнице соответствующих контурных токов, при этом учитываем, что ток ветви, которая принадлежит только данному контуру, равен контурному току. Отсюда следует, что

Анализируя (5), нетрудно установить, что все контурные уравнения имеют одинаковую структуру: левая часть их есть алгебраическая сумма членов, один из которых равен произведению RkIk , а остальные – произведениям контурных токов других контуров на Rkj ; правая часть контурного уравнения содержит только один член – контурную ЭДС (Еk).

Методом контурных токов следует пользоваться, если число узлов схемы q , уменьшенное на единицу, больше числа k взаимно независимых контуров: q-1>k.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.