Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Метод множителей Лагранжа



Постановка задачи

 

Дана задача нелинейного программирования

 

 

при ограничениях:

 

 

Предположим, что функции f(x1, х2,..., xп) и gi(x1, x2,..., xп) непрерывны вместе со своими первыми частными про­изводными.

Ограничения заданы в виде уравнений, поэтому для ре­шения задачи воспользуемся методом отыскания условного эк­стремума функции нескольких переменных.

Для решения задачи составляется функция Лагранжа

 

 

где λi множители Лагранжа.

Затем определяются частные производные:

 

Приравняв к нулю частные производные, получим систему

 

 

Решая систему, получим множество точек, в которых целевая функция L может иметь экстремальные значения. Следует отметить, что условия рассмотренной системы являются необходимыми, но недостаточными. Поэтому не всякое полученное решение определяет точку экстремума целевой функции. Применение метода бывает оправданным, когда заранее предполагается существование глобального экстремума, совпадающего с единственным локальным максимумом или минимумом целевой функции.

Пример 8. Найти точку условного экстремума функции

 

 

при ограничениях:

 

 

Решение. Составим функцию Лагранжа

 

 

Найдем частные производные функции Лагранжа по пере­менным x1, x2, x3, λ1, λ2. Приравняв к нулю полученные вы­ражения, решим систему

 

Откуда λ1 = -x2, λ2 = - x2/2, х1 = -2, x2 = -4, x3 = 4, L = -8.

Определим характер экстремума, изменяя полученные зна­чения переменных. Измененные значения должны удовлетво­рять заданной системе ограничений. Возьмем х1 > -2, напри­мер x1 = -1, тогда из системы ограничений получим х2 = -3, x3 = 7/2, L = -15/2. Возьмем х1 < -2, например х1 = -3, тогда получим х2 = -5, x3 = 9/2, L = -15/2. Следовательно, L = -8 — минимальное значение функции.

Ответ. Точка экстремума х1 = -2, x2 = -4, x3 = 4, при этом максимальное значение функции L = -8.

 

Расчет экономико-математической модели при нелинейных реализациях продукции

 

Рассмотрим применение выше приведенных методов на примере решения задачи оптимальной реализации продукции.

Пример 9. Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже x1 кг муки через магазин расходы на реализацию составляют х12 ден. ед., а при продаже x2 кг муки посредством торговых агентов — х22 ден. ед.

Определить, сколько килограммов муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были мини­мальными, если в сутки выделяется для продажи 5 000 кг муки.

Решение. Составим математическую модель задачи.

Найдем минимум суммарных расходов

 

 

при ограничениях:

 

 

Для расчета модели используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

 

 

Найдем частные производные функции F по x1, x2 и λ, приравняем их к нулю, получим систему уравнений

 

 

откуда λ = -5 000, x1 = 2 500, x2 = 2 500, L = 12 500 000 ден. ед.

Давая х1 значения больше и меньше 2500, находим L и из определения экстремума функции получаем, что L при х1 = x2 = 2 500 достигает минимума.

Таким образом, для получения минимальных расходов не­обходимо расходовать в сутки через магазин и торговых аген­тов по 2 500 кг муки, при этом расходы на реализацию составят 12 500 000 ден. ед.

УПРАЖНЕНИЯ

 

Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функций.

28.1. L =x1 + 2x2 при ограничениях:

 

28.2. L = x1 + 3x2 при ограничениях:

 

28.3.L = (x1 - 6)2 + (x­2 - 2)2 при ограничениях:

 

28.4.L = (x1 — 3)2 + (x2 — 4)2 при ограничениях:

 

28.5. L = (x1 - 4)2 + (x2 - 3)2 при ограничениях:

 

28.6. L = (x1 - 3)2 + (x2 — 2)2 при ограничениях:

 

 

28.7. L = (x1 — 2)2 + (x2 — l)2 при ограничениях:

 

 

28.8. L = x12 + x22 при ограничениях:

 

 

Найти глобальные максимум и минимум дробно-линейных функций.

28.9. L = (2x1 - x2) / (x1 + x2) при ограничениях:

 

28.10. L= (3x1 - x2)/(x1 + x2) при ограничениях:

 

28.11. L = (3x1 + 7x2)/(xl + х2) при ограничениях:

 

 

Используя метод множителей Лагранжа, найти точку условно­го экстремума следующих функций.

28.12. L = 2х1х3 – х2х3 при ограничениях:

 

28.13. L= х1х2 + x2x3, при ограничениях:

 

28.14. L = x1x2 + х2х3 при ограничениях:

 

28.15. L = 2x1x2 + х3 при ограничениях:

 

28.16. Фирма реализует автомобили двумя способами: через розничную и оптовую торговлю. При реализации х1 автомоби­лей в розницу расходы на реализацию составляют 4x1 + х12 р., а при продаже x2 автомобилей оптом — х22 р.

Найти оптимальный способ реализации автомобилей, ми­нимизирующий суммарные расходы, если общее число пред­назначенных для продажи автомобилей составляет 200 шт.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.