Дана математическая модель экономической задачи, в которой две целевые функции и система ограничений линейны. Найдем компромиссное решение по двум показателям, один из которых требует отыскания максимума, а другой — минимума:
при ограничениях:
где L1, L2 — значения целевых функций (экономические показатели), для упрощения записи опущены обозначения аргумента; aij, cj, dj, bi — коэффициенты; xj — переменные.
Решим задачу по каждому показателю в отдельности и найдем оптимальные значения L1max, L2min.
Проделав преобразования над целевыми функциями, получим математическую модель нахождения компромиссного решения задачи с двумя целевыми функциями:
при ограничениях:
где W — целевая функция; xn+1 — наибольшее относительное значение экономических показателей.
Математическая модель будет аналогичной в случае нахождения компромиссных решений задач, имеющих три целевые функции и более.
Рассмотрим нахождение компромиссного решения экономической задачи, математическая модель которой имеет три целевые функции.
Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях
Фирма выпускает два вида изделий по цене 2 ден. ед. и 3 ден. ед. соответственно. По результатам маркетинговых исследований спрос на изделия второго вида не менее 1 тыс. ед. в год. Для производства изделий используются материалы А и В, запасы которых на фирме составляют 18 и 15 т соответственно. Для изготовления 1 тыс. изделий норма расхода материала А для изделий 1-го вида составляет 3 т, а для изделий 2-го вида — 5 т. Для изготовления 1 тыс. изделий материала В расходуется: для изделий 1-го вида — 5 т, для изделий 2-го вида — 3 т. Себестоимость изделий 1-го вида — 1 ден. ед., а 2-го вида — 2 ден. ед.
Найти оптимальное решение по производству изделий 1-го и 2-го видов, чтобы прибыль и количество выпускаемых изделий были максимальными, себестоимость минимальной.
Решение. Обозначим: x1 — количество изделий 1-го вида, тыс. ед.; x2 — количество изделий 2-го вида тыс. ед.
Математическая модель задачи будет иметь вид
при ограничениях:
Решим задачу по каждой целевой функции в отдельности. Получим
Математическая модель задачи нахождения компромиссного решения:
при ограничениях:
Решая задачу на ПЭВМ, получим
Таким образом, фирме целесообразно выпускать 1,07 тыс. изделий 1-го вида и 1 тыс. изделий 2-го вида.
УПРАЖНЕНИЯ
Составить математическую модель нахождения компромиссного решения и найти его.
27.1.L1 = x1 + 2x2 → max, L2 = 4x1 + х2 → min при ограничениях:
27.2.L1 = 2x1 + x2 → max, L2 = 2x1 + x2 → min при ограничениях:
27.3.L1 = x1 + 3x2→ max, L2 = 2x1 + x2 → min при ограничениях:
27.4.L1 = 4x1 + x2 → max, L2 = x1 + 4x2 → min при ограничениях:
27.5.L1 = x1 + 3x2 → max, L2 = x1 + x2→ min при ограничениях:
27.6.L1 = 5x1 +4x2 → max, L2 = x2 → max при ограничениях: