Глава 24. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Общая формулировка задачи

Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по произ­водству и распределению неделимой продукции (выпуск стан­ков, телевизоров, автомобилей и т.д.). В общем виде математи­ческая модель задачи целочисленного программирования име­ет вид

при ограничениях:

Оптимальное решение задачи, найденное симплексным ме­тодом, часто не является целочисленным. Его можно округлить до ближайших целых чисел. Однако такое округление может дать решение, не лучшее среди целочисленных решений, или привести к решению, не удовлетворяющему системе ограниче­ний. Поэтому для нахождения целочисленного решения нужен особый алгоритм. Такой алгоритм предложен Гомори и состо­ит в следующем.

Симплексным методом находят оптимальное решение за­дачи. Если решение целочисленное, то задача решена. Если же оно содержит хотя бы одну дробную координату, то на­кладывают дополнительное ограничение по целочисленности и вычисления продолжают до получения нового решения. Ес­ли и оно является нецелочисленным, то вновь накладывают дополнительное ограничение по целочисленности. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет получено целочисленное решение или показано, что задача не имеет целочисленного ре­шения.

Пусть получено оптимальное решение _опт = (f₁, f₂, ... , f_r, 0, ..., 0), которое не является целочисленным, тогда по­следний шаг симплексной таблицы имеет следующий вид:

где r — ранг системы ограничений; h_i,r+1 — коэффициент сим­плексной таблицы i-й строки, (r + 1)-го столбца; f_i — свобод­ный член i-й строки.

Пусть f_i и хотя бы одно h_ij (j = , r = ) — дроб­ные числа.

Обозначим через [f_i] и [h_ij] целые части чисел f_i и h_ij.

Определение 1. Целой частью числа f_i называют наибольшее целое число, не превосходящее числа f_i.

Дробную часть чисел f_i и h_ij обозначим {f_i} и {h_ij}, она определяется следующим образом:

Пример.

Если f_i и хотя бы одно значение h_ij дробны, то с учетом введенных обозначений целых и дробных чисел дополнитель­ное ограничение по целочисленности примет вид

{h_i,r+l} x_r+1 + {h_i,r+2} x_r+2 + • • • + {h_i,п} x_п ≥ {f_i}.

Примечания. 1) Если f_i — дробное число, а все h_ij — целые числа, то задача линейного программирования не имеет целочисленного решения.

2) Ограничение целочисленности может быть наложено не на все переменные, а лишь на их часть. В этом случае задача является частично целочисленной.

Поиск по сайту: