Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно x1, x2, … , xn расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.
Пусть aij — доля бюджета xj, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов aij:
Тогда если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (можно это трактовать как торговый бюджет), то справедливо равенство
Матрица (16.12) со свойством (16.13), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой
Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. Pi ≥ xi:, или
Докажем, что в условиях (16.14) не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до n. Группируя слагаемые с величинами бюджетов xj, получаем
Нетрудно видеть, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам от первого до последнего, которые равны единице по условию (16.13). Стало быть, мы получили неравенство
откуда возможен только знак равенства.
Таким образом, условия (16.14) принимают вид равенств:
Введем вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны; тогда систему уравнений (16.15) можно записать в матричной форме
Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению λ = 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.
Перепишем уравнение (16.16) в виде, позволяющем определить :
Пример. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:
Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:
Решение. Необходимо найти собственный вектор , отвечающий собственному значению λ = 1 заданной структурной матрицы А, т.е. решить уравнение (16.17), которое в нашем случае имеет вид
Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной и остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора :
Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину с: с = 1210, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):
УПРАЖНЕНИЯ
16.1. По данным табл. 16.1 составить новую таблицу производственно-экономических показателей по следующим условиям:
— количество изделий всех видов увеличивается на 20%,
— норма времени изготовления по всем изделиям уменьшается на 20%,
— цена на все виды изделий уменьшается на 10%.
Найти ежесуточные показатели, указанные в задаче 1 п. 16.1, а также их процентные изменения.
16.2. По данным табл. 16.2 составить новую таблицу по следующим условиям:
— дневная производительность всех предприятий увеличивается на 100%,
— число рабочих дней в году для 1-го предприятия увеличивается на 50%, а для остальных — на 40%,
— цены на виды сырья уменьшаются соответственно на 10, 20 и 30%.
Определить суммы кредитования предприятий и их соответствующие процентные изменения.
16.3. Отрасль состоит из 4-х предприятий; вектор выпуска продукции и матрица внутреннего потребления имеют вид
Найти вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли.
16.4. Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья, характеристики производства указаны в следующей таблице:
Найти объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.
16.5. В условиях примера 2 п. 16.2 определить прирост объемов валовых выпусков по каждой отрасли (в процентах), если конечное потребление увеличить по отраслям соответственно на 30, 10 и 50%. Решить задачу методом обратной матрицы и методом Гаусса.
16.6. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид
Найти бюджеты первой и второй стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что бюджет третьей страны равен 1100 усл. ед.