Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Замена переменной в определенном интеграле



ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на от­резке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непрерывна на , β] и множеством значений функции φ(t) является отрезок [а, b], 3) φ(α) = а, φ(β) = b. Тогда справедлива формула

 

 

Формула (7.12) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле.

Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к преж­ней переменной, как это делалось при вычислении неопределен­ного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подста­новке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые преобразования подынтеграль­ной функции.

Заметим также, что при замене переменной в определенном интеграле необходимо соблюдать условия теоремы 7.5, иначе можно получить неверный результат (особое внимание следует уделять выполнению условия 2 теоремы).

Вычислить определенные интегралы методом подстановки.

Решение. Выполним подстановку t = 1 + х2. Тогда dt = 2х dx, t = 1 при х = 0 и t = 2 при х = 1. Поскольку функция х = непрерывна на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и, значит, для нее в силу теоре­мы 7.5 существует первообразная на этом отрезке. Получаем

 

 

Решение. Применим здесь подстановку х = a sin t. Тогда dx = a cos t dt, = a cos t, t = arcsin , t = 0 при x = 0, t = при x = а. Подставляя все это в исходный интеграл, получим

 

 

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

 

 

Вычислим этот интеграл при помощи замены переменной t = tg х. Тогда t = 0 при х = 0 и t = 0 при х = π, х = arctg t, т.е. dx = dt / (l + t2). Подстановка в исходный интеграл дает

 

Полученное противоречие объясняется тем, что функция за­мены переменной t = tg x имеет разрыв при х = π/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.5.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 6. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула

 

 

Равенство (7.13) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Рассмотрим ряд приме­ров вычисления определенных интегралов методом интегриро­вания по частям.

 

Решение. Положим здесь и = х, v = e-x, тогда dv = -e-xdx и

 

 

Решение. Здесь и = х, sin x dx = dv или v = - cos x; далее по формуле (7.13) имеем

 

 

Геометрические приложения определенного интеграла

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.