Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Элементы операционного исчисления



Пусть функция f(x) обладает следующими свойствами:

10. f(x) ≡0 при t < 0.

20. |f(x)| < МеSot при t > 0 , где М > 0 и S0 некоторые действительные постоянные.

30. На любом конечном отрезке [а, в] положительной полуоси Ot функция f(x) удовлетворяет условием Дирихле, т.е.:

а) ограниченна;

б) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода;

в) имеет конечное число экстремумов.

Такие функции в операционном исчислении называются изображаемыми по Лапласу, или оригиналами.

Пусть р = α + βi - комплексный параметр.

При сформированных условиях интеграл сходится и является функцией от р.

Этот интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция комплексного аргумента р называется преобразованием Лапласа от функции f(t) или лапласовым изображением f(t) или просто изображением f(t) .

 

Таблица изображений основных элементарных функций

 

f (t) при t > 0 f (t) при t > 0
eαtcos βt
eαtsin βt
еαt
at t cos βt
cos βt t sin βt
sin βt      

 

Тот факт, что функция является изображением оригинала f(t), обозначается следовательно символом f(t).

Если дано линейное дифференцированное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

y(n) + a1y(n-1) +…+ any = f(t),

 

правая часть которого f(t) является оригиналом, то и решение этого уравнения, удовлетворяющее произвольным начальным условиям вида:

 

y (0) = y0, у΄(0) = y΄0 , y΄΄=y0΄΄, … ,y(n-1)(0) = y(n-1)0

 

(т.е. решение задачи Коши, поставленной для этого уравнения, с начальными условиями при t = 0, служит оригиналом. Обозначая изображение этого решения через , находим изображение левой части исходного дифференцированного уравнения и, приравнивая его к изображению функции f(t) ,приходим к так называемому изображающему уравнению, которое всегда является линейным алгебраическим уравнением относительно . Определив из этого уравнения , находим оригинал у(t).

Пусть оригинал f(t) дифференцируем n раз и его производные до n-го порядка в свою очередь являются оригиналами. Тогда справедлива теорема дифференцирования оригинала:

если f(t), то

f(k)(t) pk -{pk-1· f(0) +pk-2· f΄(0) + … + fk-1(0)}, (k 1, 2, … , n).

В частности :

p · - f(0),

f΄΄(t) p2 · - p f(0) - f΄(0),

f΄΄΄(t) p3 · - p2 f (0) – p f΄ (0) - f΄΄(0).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

 

y΄΄΄-6y΄΄+11y΄-6y=0, если у(0) = 0, у΄(0) = 1, у΄΄(0) = 0.

Решение.

Переходя к изображениям по теореме дифференцирования оригинала, получим:

 

или

 

Используем элементарные приемы для разложения этой дроби на сумму, таких простейших дробей, оригиналы которых известны:

 

 

Полагая р=1, находим –5 = 2А, откуда А = -5/2.

Полагая р=2, находим –4 = -В, откуда В = 4.

При р = 3, находим –3 = 2С, откуда С = -3/2.

 

Следовательно,

 

Отсюда, используя формулу (3) таблицы изображений, находим:

 

Пример 2. Решить систему уравнений: если х(0) =0, у (0) = 5.

Решение.

Перейдем к изображениям:

х΄

 

Система уравнений примет вид:

 

Из первого уравнения системы выразим , подставим во 2-ое уравнение:

 

Выразим из 2-го уравнения и подставим в 1-ое:

 

или

 

Осталось найти оригинал для и . Разложим дробь на простейшие дроби:

 

 

Полагая р =-1 получаем –8 = 4В, откуда В= -2.

Полагая р = 0, получаем 2 = -3А, откуда А =-

Полагая р = 3, получаем 32 = 12 С, откуда С =

Следовательно:

.

 

Тогда

Аналогично поступим с дробью для отыскивания оригинала для .

 

При р = -1, 8 = 4В, откуда В = 2.

При р = 0, -1 = -3А, откуда А =

При р = 3, получаем 32 = 12 С, откуда С =

Следовательно:

Тогда

 

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение методом операционного исчисления

 

у΄΄-2у΄-3у = е3t, если у(0) = 0, у΄(0) = 0.

Решение

Перейдем к изображениям:

 

y΄΄

y

е3t Тогда данное дифференциальное уравнение примет вид:

или, учитывая начальные условия:

откуда

 

 

квадратный трехчлен р2- 2р – 3 можно разложить на два множителя, так как его корни р1= 3, р2 = -1: р2 – 2р – 3 = (р -3)(р+1).

Окончательно имеем: Осталось найти оригинал данной функции. Разложим полученную рациональную дробь на простейшие дроби:

 

 

Полагая р = -1, получаем 1 = 16С, т.е. ;

При р = 3, имеем 1 = 4А, т.е.

Сравнивая коэффициенты при р2, получим О = В +С, т. е. Следовательно,

 

откуда, используя таблицу изображений, находим искомый оригинал и решение данного дифференциального уравнения:

или

 

 

 

Пример 4. Решить систему уравнений: если х(0) = у (0) =1.

Решение.

Перейдя к изображениям имеем:

 

Из 1-го уравнения системы выразим , подставим во 2-е уравнение системы:

 

 

Из 2-го уравнения системы выразим , подставим в 1-е уравнение:

Таким образом:

 

Таким образом:

Разложив, полученные дроби на простейшие, по таблице изображений найдем оригинал:

 

 

При р = 5 : 12 = 10А, А = 1, 2. При р =5 : 6 = 10С, С = 0,6.

При р = -5 : 2 =-10В, В = -0,2. При р = -5 : -4 = -10Д, Д = 0,4.

 

Следовательно, и

 

Откуда

 




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.