Понятие системы счисления. Классификация систем счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления
Системы счисления были созданы в процессе хозяйственной деятельности человека, когда у него появилась потребность в счете, а по мере развития научной и технической деятельности возникла также необходимость записывать числа и производить над ними вычисления
Системой счисления называется совокупность символов и приемов, позволяющих однозначно изображать числа. Или, в общем случае, это специальный язык, алфавитом которого являются символы, называемые цифрами, а синтаксисом - правила, позволяющие однозначно сформировать запись чисел. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа. В общем случае число записывается следующим образом:
А=аn an-1 ... а2 a1 а0
Отдельную позицию в записи числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда, количество разрядов в записи числа - это разрядность и она совпадает с длиной числа. В техническом плане длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки. Если алфавит имеет р различных значений, то разряд aі в числе рассматривается как р-ичная цифра, которой может быть присвоено каждое из р значений.
Каждой цифре aі данного числа А однозначно соответствует ее количественный (числовой) эквивалент - К(aі). При любой конечной разрядной секе количественный эквивалент числа А будет принимать в зависимости от кличественных отдельных разрядов значения от К(А) min до К(А) max.
Диапазон представления (D) чисел в данной системе счисления - это интервал числовой оси, заключенный между максимальными и минимальными числами, представленными заданной разрядностью (длиной разрядной сетки):
D=К(А)(p) max - К(А)(p) min.
Существует бесчисленное множество способов записи чисел цифровыми знаками. Однако, любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:
1) возможность представления любого числа в заданном диапазоне чисел;
2) однозначность представления;
3) краткость и простоту записи чисел;
4) легкость овладения системой, а также простоту и удобство оперировать ею.
В зависимости от целей применения используют различные системы счисления: 2-ю, 10-ю, 8-ю, 16-ю, римскую, а для исчисления времени - система счисления времени и т.д.
В зависимости от способа записи чисел и способа вычисления их количественного эквивалента системы счисления можно классифицировать следующим образом (рис. 1)
В основном системы счисления строятся по следующему принципу:
А(p)= аnрn +аn-1pn-1…..+а1р1,
где А(p)- запись числа в системе с базисом рі;
аі- база или последовательность цифр системы счисления с рi-чным алфавитом
рi - базис системы счисления (совокупность весов отдельных разрядов системы счисления). Базис десятичной системы счисления 100, 101, 102, 103, ..., 10п.
База системы счисления может быть положительной (0,1,2...9), но может быть и смешанной (1, ).
Рисунок. 1- Классификация систем счисления
Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов для изображения числа в данной системе счисления.
Вес разряда Ri в любой системе счисления - это отношение Ri=pi/p0.