В системе MatLab достаточно просто выполняются математические операции над матрицами и векторами. Рассмотрим сначала простые операции сложения и умножения матриц и векторов. Пусть даны два вектора
a = [1 2 3 4 5]; % вектор-строка b = [1; 1; 1; 1; 1]; % вектор-столбец
тогда умножение этих двух векторов можно записать так
c = a*b; % c=1+2+3+4+5=16 d = b*a; % d – матрица 5х5 элементов
В соответствии с операциями над векторами, умножение вектор-строки на вектор-столбец дает число, а умножение вектор-столбца на вектор-строку дает двумерную матрицу, что и является результатом вычислений в приведенном примере, т.е.
Сложение и вычитание двух векторов записывается так
a1 = [1 2 3 4 5]; a2 = [5 4 3 2 1]; c = a1+a2; % c = [1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1]; с = a2-a1; % c = [5-1, 4-2, 3-3, 2-4, 1-5];
Следует обратить внимание, что операции сложения и вычитания можно выполнять между двумя векторами-столбцами или двумя векторами-строками. Иначе MatLab выдаст сообщение об ошибке, т.к. разнотипные векторы складывать нельзя. Так обстоит дело со всеми недопустимыми арифметическими операциями: в случае невозможности их вычисления система MatLab сообщит об ошибке и выполнение программы будет завершено на соответствующей строке.
Аналогичным образом выполняются операции умножения и сложения между матрицами:
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; B = ones(3); C = A+B; % сложение двух матриц одинакового размера D = A+5; % сложение матрицы и числа E = A*B; % умножение матрицы А на В F = B*A; % умножение матрицы В на А G = 5*A; % умножение матрицы на число
Операции вычисления обратной матрицы, а также транспонирования матриц и векторов, записываются следующим образом:
a = [1 1 1]; % вектор-строка b = a’; % вектор-столбец, образованный % транспонированием вектора-строки а. A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3 элемента B = a*A; % B = [12 15 18] – вектор-строка C = A*b; % C = [6; 15; 24] – вектор-столбец D = a*A*a’; % D = 45 – число, сумма эл-ов матрицы А E = A’; % E – транспонированная матрица А F = inv(A); % F – обратная матрица А G = A^-1; % G – обратная матрица А
Из приведенного примера видно, что операция транспонирования матриц и векторов обозначается символом ‘ (апостроф), который ставится после имени вектора или матрицы. Вычисление обратной матрицы можно делать путем вызова функции inv() или возводя матрицу в степень -1. Результат в обоих случаях будет одинаковым, а два способа вычисления сделано для удобства использования при реализации различных алгоритмов.
Если в процессе вычислений требуется поэлементно умножить, разделить или возвести в степень элементы вектора или матрицы, то для этого используются операторы:
.* - поэлементное умножение; ./ и .\ - поэлементные деления; .^ - поэлементное возведение в степень.
Рассмотрим работу данных операторов на следующем примере.
a = [1 2 3]; % вектор-строка b = [3 2 1]; % вектор-строка c = a.*b; % c = [3 4 3] A = ones(3); % матрица 3х3, состоящая из единиц B = [1 2 3;4 5 6; 7 8 9]; % матрица 3х3 C = A.*B; % матрица 3х3, состоящая из D = A./B; % матрица 3х3, состоящая из E = A.\B; % матрица 3х3, состоящая из F = A.^2; % возведение элементов матрицы А в квадрат
В заключении данного параграфа рассмотрим несколько функций полезных при работе с векторами и матрицами.
Для поиска максимального значения элемента вектора используется стандартная функция max(), которая возвращает найденное максимальное значение элемента и его позицию (индекс):
a = [1 6 3 4]; [v, i] = max(a); % v = 6, i = 2;
или
v = max(a); % v = 6;
Приведенный пример показывает два разных способа вызова функции max(). В первом случае определяется и максимальное значение элемента и его индекс в векторе, а во втором – только максимальное значение элемента.
В случае с матрицами, данная функция определяет максимальные значения, стоящие в столбцах, как показано ниже в примере:
Полный синтаксис функции max() можно узнать, набрав в командном окне MatLab команду
help <название функции>
Аналогичным образом работает функция min(), которая определяет минимальное значение элемента вектора или матрицы и его индекс.
Другой полезной функцией работы с матрицами и векторами является функция sum(), которая вычисляет сумму значений элементов вектора или столбцов матрицы:
a = [3 5 4 2 1]; s = sum(a); % s = 3+5+4+2+1=15 A = [4 3 5; 6 7 2; 3 1 8]; S1 = sum(A); % S1=[13 11 15] S2 = sum(sum(A)); % S2=39
При вычислении суммы S2 сначала вычисляется сумма значений элементов матрицы А по столбцам, а затем, по строкам. В результате, переменная S2 содержит сумму значений всех элементов матрицы А.
Для сортировки значений элементов вектора или матрицы по возрастанию или убыванию используется функция sort() следующим образом:
Во многих практических задачах часто требуется найти определенный элемент в векторе или матрице. Это можно выполнить с помощью стандартной функции find(), которая в качестве аргумента принимает условие, в соответствии с которым и находятся требуемые элементы, например:
В приведенном примере символ ‘= =’ означает проверку на равенство, а символ ‘~=’ выполняет проверку на неравенство значений элементов вектора а. Более подробно об этих операторах будет описано в разделе условные операторы.
Еще одной полезной функцией работы с векторами и матрицами является функция mean() для вычисления среднего арифметического значения, которая работает следующим образом:
При разработке программ важным является выбор эффективного способа представления данных. Во многих случаях недостаточно объявить простую переменную или массив, а нужна более гибкая форма представления данных. Таким элементом может быть структура, которая позволяет включать в себя разные типы данных и даже другие структуры. Структуры задаются следующим образом:
S = struct('field1',VALUES1,'field2',VALUES2,...);
где field1 – название первого поля структуры; VALUES1 – переменная первого поля структуры, и т.д.
Приведем пример, в котором использование структуры позволяет эффективно представить данные. Таким примером будет инвентарный перечень книг, в котором для каждой книги необходимо указывать ее наименование, автора и год издания. Причем количество книг может быть разным, но будем полгать, что не более 100. Для хранения информации об одной книге будем использовать структуру, которая задается в MatLab с помощью ключевого слова struct следующим образом:
S = struct('title','','author','','year',0);
В итоге задается структура с тремя полями: title, author и year. Каждое поле имеет свой тип данных и значение.
Для того, чтобы записать в эту структуру конкретные значения используется оператор ‘.’ (точка) для доступа к тому или иному полю структуры:
и таким образом, переменная S хранит информацию о выбранной книге.
Однако по условиям задачи необходимо осуществлять запись не по одной, а по 100 книгам. В этом случае целесообразно использовать вектор структур lib, который можно задать следующим образом:
Данный пример показывает удобство хранения информации по книгам. Графически массив структур можно представить в виде таблицы, в которой роль столбцов играют поля, а роль строк элементы массива структур (рис. 1.1).
При работе со структурами полезными являются следующие функции:
isstruct( S ) – возвращает истину, если аргумент структура isfield( S, 'name') – возвращает истину, если имеется такое поле fieldnames( S ) – возвращает массив строк с именами всех полей
которые позволяют программно определить всю необходимую информацию о той или иной структуре и корректно выполнять обработку ее полей.
название
автор
год издания
lib[1]
lib[1].title
lib[1].author
lib[1].year
lib[2]
lib[2].title
lib[2].author
lib[2].year
lib[3]
lib[3].title
lib[3].author
lib[3].year
lib[100]
lib[100].title
lib[100].author
lib[100].year
Рис. 1.1. Графическое представление массива структур хранения информации по 100 книгам
Ячейки в MatLab
Ячейки также как и структуры могут содержать разные типы данных, объединенные одной переменной, но в отличии от вектора структур, вектор ячеек может менять тип данных в каждом элементе. Таким образом, вектор ячеек является универсальным контейнером – его элементы могут содержать любые типы и структуры данных, с которыми работает MatLab – векторы чисел любой размерности, строки, векторы структур и другие (вложенные) векторы ячеек.
Методы создания вектора ячеек похожи на методы создания вектора структур. Как и в случае структур, векторы ячеек могут быть созданы либо путём последовательного присваивания значений отдельным элементам массива, либо созданы целиком при помощи специальной функции cell(). Однако в любом случае важно различать ячейку (элемент вектора ячеек) и её содержимое. Ячейка – это содержимое плюс некоторая оболочка (служебная структура данных) вокруг этого содержимого, позволяющая хранить в ячейке произвольные типы данных любого размера.
Приведем пример создания вектора ячеек хранения разных типов данных.
book = struct('title','Онегин','author','Пушкин','year',2000); MyCell(1)={book}; MyCell(2)={'Пушкин'}; MyCell(3)={2000};
Здесь задан вектор ячеек MyCell с тремя элементами. Первый элемент соответствует структуре, второй – строке, а третий – числу. В этом и заключается особенность организации данных с помощью ячеек: у каждого элемента свой тип данных.
Для обращения к содержимому той или иной ячейки используются фигурные скобки, внутри которых ставится индекс элемента с которым предполагается работа:
Если же используются круглые скобки, то будет возвращена структура данных вместо отдельных значений, например
MyCell(1)
выведет
[1x1 struct]
Для того чтобы задать вектор или матрицу ячеек с пустыми (неопределенными) значениями, используется функция cell() как показано ниже.
MyCellArray = cell(2, 2);
задается матрица размером 2х2. Данную инициализацию целесообразно выполнять когда нужно определить большой вектор или матрицу ячеек и в цикле задавать их значения. В этом случае MatLab сразу создает массивы нужных размеров, в результате чего повышается скорость выполнения программ.
В заключении рассмотрим возможность программирования функции с произвольным числом аргументов благодаря использованию ячеек. Для этого в качестве аргумента функции указывается ключевое слово varargin, которое интерпретируется внутри функции как вектор ячеек с переданными аргументами:
function len = SumSquare( varargin ) n= length( varargin ); len = 0; for k = 1 : n len = len + varargin{ k }(1)^2 +varargin{ k }(2)^2; end
Данная функция вычисляет сумму квадратов чисел, которые передаются ей следующим образом: