Символьные вычисления в MatLab

Подготовка к работе

1. По указанной литературе изучить правила:

- упрощения выражений,

- раскрытия скобок в выражениях,

- факторизации выражений,

- подстановки подвыражений,

- символического дифференцирования и интегрирования,
разложения в ряд Тейлора,

преобразования в элементарные дроби, преобразований Фурье, Лапласа и z-.

2. Подготовить ожидаемые решения для задач путем ручного вывода формул (или най­
дя их по математическим справочникам).

Контрольные вопросы

1. Задание символьных переменных с помощью апострофа и функции sym.

2. Функция syms создания группы символьных объектов.

3. Функция расширить (разложить по степеням) - expand.

4. Функция свернуть (упростить) - simple.

5. Функция упростить - simplify.

6. Функция факторизовать (разложить на простые множители) - factor.

7. Функция собрать по степеням - collect.

8. Функция подстановки подвыражения переменной - subexpr.

9. Функция дифференцировать - diff.

10. Функция интегрировать - int.

11. Функция найти предел - limit.

12. Функция разложить в ряд Тейлора -teylor.

13. Функция решения уравнений в символьной форме - solver.

14. Функции работы с матрицами.

15. Функция отображения графиков символьных функций

16. Преобразования Фурье, Лапласа, z-.

Задание к работе

Задача 1. Развертка/свертка.

Ввести выражение f1 (x) и развернуть его.

Полученное выражение свернуть. Сравнить результат cfl(x). Задача 2. Дифференцировать/интегрировать.

Ввести выражение f1 (x) и найти производную по х.

Для полученного выражения найти неопределенный интеграл. Сравнить с f1 (x). Задача 3. Разложить в ряд Тейлора.

Ввести выражение f2(x) и найти его разложение в ряд Тейлора.

Построить XY график для f2(x) и его разложения в ряд Тейлора F2(x). Задача 4. Работа с командой funtool.

- Задать функцию f1 и выполнить с ней операции задачи 2.

- Задать функцию f2 и выполнить с ней операцию символьного дифференциро­
вания.

Варианты заданий

Методические указания

1. Обратите внимание: в задании употреблены имена стандартных функций, принятые
в MatLab. Они могут не совпадать с принятыми в математике. В именах функций
имеет значение высота букв.

2. Результат символьных преобразований выводится в командное окно с новым сим­
вольным именем. В отличие от вывода результатов несимвольных преобразований
выводимое значение размещается без абзацного отступа.

3. Развертка и свертка выражений. Под разверткой понимается запись выражения в
развернутой форме (с открытыми скобками). Под сверткой понимается обратное дей­
ствие.

Начать надо с указания символьных переменных. Для этого применяется функ­ция: syms перечень имен переменных через пробел Затем надо ввести исходную функцию.

Далее следует выполнить операцию развертки и получить результат с именем f1_new. Для этого используется функция ехрапфмя переменной). Затем над f1_new нужно выполнить операцию свертки и получить результат с именем fi_old. Для этого используется функция з1тр1е(имя переменной). Признаки правильного выполнения операций - при свертке результата разверт­ки восстанавливается исходная функция.

4. Дифференцирование и интегрирование выражений. При дифференцировании выра­
жения находится производная по выбранной переменной. При интегрировании вы-

ражения находится неопределенный интеграл (первообразная) по выбранной пере­менной. Константа по умолчанию - нуль.

- Начать надо с указания символьных переменных. Для этого применяется функ­
ция: syms перечень имен переменных через пробел

- Затем надо ввести исходную функцию.

Далее следует выполнить операцию дифференцирования и получить результат с именем f1_new. Для этого используется функция diff(f1,'x',n). здесь fi- имя функции, 'х' - имя переменной (вводится, как строка, в апострофах), по которой производится дифференцирование, п - порядок производной.

- Затем над f1_new нужно выполнить операцию интегрирования и получить ре­
зультат с именем f1 old.Для этого используется функция int(f1_new,'x'). здесь

f1_new - имя функции, 'х' - имя переменной (вводится, как строка), по которой производится интегрирование.

- Признаки правильного выполнения операций - при интегрировании результата
дифференцирования восстанавливается исходная функция.

5. Разложение в ряд Тейлора. При этом для заданного выражения находится ряд Тей­
лора с остаточным членом, величина которого зависит от точности, выбираемой при
выполнении операции. Остаточный член отбрасывается.

- Начать надо с указания символьных переменных. Для этого применяется функ­
ция: syms перечень имен переменных через пробел

- Затем надо ввести исходную функцию.

Далее следует выполнить операцию разложения в ряд Тейлора и получить ре­зультат с именем f1_new. Для этого используется функция taylor(f1,n,'x',a). Здесь fi - имя функции, переменной, п - порядок остаточного члена, , Y - имя пере­менной (вводится, как строка, в апострофах), по которой производится разло­жение, а - значение переменной, для которого делается разложение (если оно пропускается, то предполагается а=0).

- Затем над f1_new нужно выполнить операцию свертки и получить результат с
именем f1_ old.Для этого используется функция simple(MMq переменной).

- Признаки правильного выполнения операции - в окрестности точки а графики
исходной и полученной функций совпадают. Для построения графиков символь­
ных функций имеется процедура ezplot(f2,-h,h);grid on. Здесь f - имя символьной
функции, (-h h) - нижний и верхний предел значений аргумента, grid on - включа­
ет в графике координатную сетку. В заголовок графического окна помещается
описание функции. По этой причине в одно графическое окно можно вывести
только один график.

6. Для работы с символьными функциями предусмотрена функция оболочка - fuhtool.
Она представляет собой интерактивный графический калькулятор, позволяющий бы­
стро построить две функции одной переменной f(x) и д(х). выводятся три автономных
окна: два графических и управляющее.

- Графики отображаются в отдельных окнах с заголовками.
Управляющее окно содержит:

• Два поля ввода функций.

• Поле ввода пределов переменной х в формате [min.max].

• Поле ввода масштабирующего коэффициента а.
Управление осуществляется кнопками, сгруппированными в 4 ряда:

• Первый - тип символьного преобразования f(x).

• Второй - тип масштабирования f(x): f+a, f-a, fa, f/a, f^Aa, f(x+a), f(x*a).

• Третий - тип замены f(x) на комбинацию f(x) и g(x).

• Четвертый - управляющие операции:

—> Insert - ввести f(x) в библиотеку встроенных функций,

-» Cycle - циклически вызвать f(x) из библиотеки встроенных функций,

—> Delete - удалить f(x) из библиотеки встроенных функций,

-» Reset - установить утилиту в исходное состояние,

-» Help - вызов справки.

—> Demo - демонстрация использования,

-» Close - закрыть.

Пример выполнения
Задание f 1 (х)=(а+х)з

f2(x)=sin(x)/x Задача 1

% Задача 1

% Определить символьные переменные

syms а х;

% Функция

f1=(a+x)^A3

% Расширить ее

f1_new=expand(f1)

% Свернуть расширенное

f1_old=simple(f1_new)

Задача 2

% Задача 2

% Определить символьные переменные

syms а х;

% Функция

f1=(a+x)^A3

% Найти первую производную по х

f1_new=diff(f1,'x',1)

% Найти неопределенный интеграл по х

f1_old=int(f1_new,'x')

Задача 3

% Задача 3

% Определить символьные переменные

syms x;

% Функция

f2=sin(x)/x

% Найти разложение Тейлора по х в точке О

f2_new=taylor(f2,5,'x',0)

% Диапазон просмотра

п=4;

% График f2

figure(1);

ezplot(f2,-h,h);grid on

% График f2_new

figure(2);

ezplot(f2_new,-h,h);grid on

Работа с функцией f2(x)

Задание 4

Работа с функцией f1 (x)

Внимание:funtool использует средства символьной математики. Поэтому при вычисле­нии sin(x)/x неопределенность при х=0 раскрывается. Отрабатываются также бесконечно большие значения.

Поиск по сайту: