Определение символьной переменной

Введем команду

» sin(x).^2+cos(x).^2

??? Undefined function or variable 'x'.

Величина х воспринимается как числовая переменная, поэтому появляется сообщение: «Функция или переменная ‘x’ не определены». Для того чтобы операция была корректной, величину х необходимо определить как символьную, например

» x=sym(‘x’);

Альтернативный вариант определения символьной переменной (применяется также применительно к групповым определениям):

» syms x;

Продолжаем пример:

» sin(x)^2+cos(x)^2

ans =

sin(x)^2+cos(x)^2

Переменная ans в данном случае имеет смысл символьного выражения. Проверяем, нельзя ли его упростить, т.е. привести к более компактной форме:

» simplify(ans)

ans =

Следует обратить внимание на то, что результат выполнения символьной операции выводится без отступа.

Более простой способ решения данной задачи:

» sin('x')^2+cos('x')^2

ans =

Основные функции

Функция expand(s)представляет элементы символьного выражения в развернутой форме:

» expand((x-2)^3*(1-x))

ans =

7*x^3-x^4-18*x^2+20*x-8

Функция factor(s)используется для разложения символьного выражения на простые множители:

» factor(sym('125'))

ans =

(5)^3

или символьные:

» syms a b; A=[a^2-b^2,a^3+b^3];

» factor(A)

ans =

[(a-b)*(a+b), (a+b)*(a^2-a*b+b^2)]

Данная функция применяется также при разложении скалярных чисел на простые множители:

» factor(sym('5040'))

ans =

(2)^4*(3)^2*(5)*(7)

В этом примере 5040=7!; встроенной функции, вычисляющей факториал n!, нет, но ее нетрудно создать самостоятельно (и включить в соответствующий раздел системы):

% Вычисление факториала n!

function ypr=fact(n);

ypr=1;

if n~=0

for k=1:n

ypr=ypr*k;

End

End

Функция subs– подстановка:

subs(s) – замена свободных символьных переменных их числовыми значениями из рабочего пространства:

» a=1;

» u=sym('sin(pi/(2*a))');

» subs(u) % sin(pi/2)

ans =

subs(s,new)– замена свободных символьных переменных их числовыми значениями из списка new:

» syms a s x

» x=pi/16;

» u=sin(a^s*x);

» subs(u,[a s],[2 3]) % sin(pi/2)

ans =

subs(s,old,new)– замена свободных символьных переменных oldчисловыми значениями из списка new:

» subs(u,[a s],[3 2])

ans =

0.9808

Математический анализ

6.3.1. Функция limit – предел функции одной переменной

Система MATLAB реализует важную математическую операцию – вычисление предела, т е. . Предел может быть конечным числом (в том числе 0), а также и . В точках разрыва функции можно различать пределы слева: и справа: ; при равенстве этих пределов существует предел в точке a.

Синтаксискоманды ( ):

limit(f) – предел при :

первый замечательный предел:

» x=sym('x'); limit(sin(x)/x)

ans =

второй замечательный предел :

» limit((1+x)^(1/x))

ans =

Exp(1)

» limit((x-sin(x))/x^3)

ans =

1/6

» limit(x^x)

ans =

limit(f,a)– предел при (предварительно с помощью функции findsym(f) определяется независимая переменная – в данном случае х),

» limit((pi-2*x)*tan(x),pi/2)

ans =

limit(f,x,a) – явный предел при ,

» syms t x;

» limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)

ans =

exp(6*t)

limit(f,x,a,’left’), limit(f,x,a,’right’) – вычисление соответственно левого и правого пределов.

» syms x a

» v=[(1+a/x)^x,exp(-x)]; limit(v,x,inf,'left')

ans =

[ exp(a), 0]

Упражнение. Найти пределы

; ; .

6.3.2. Функция diff – дифференцирование функции одной переменной

Синтаксис функции:

symsum(s) – суммирование ряда с общим членом s(k) в пределах от 0 до k-1. Сумма натуральных чисел от 0 до k-1;

» syms k

» u=symsum(k)

ans =

1/2*k^2-1/2*k

» factor(u) % или simple(u)

ans =

1/2*k*(k-1)

symsum(s,kl,ku)– суммирование ряда по индексу k от kl до ku, т.е.

» symsum(k,1,3)

ans =

сумма , т.е.

» symsum(k^2,1,5)

ans =

сумма , т.е.

» symsum(1/k^2,1,inf)

ans =

1/6*pi^2

сумма , т.е.

» symsum(x^k/sym('k!'),k,0,inf)

ans =

Exp(x)

С помощью функции sym создано символьное выражение для факториала k!, поскольку символ ! не воспринимается системой MATLAB как знак факториала.

Сумма , т.е.

» symsum((-1)^k/k,1,inf)

ans =

-log(2)

» -log(2)

ans =

-0.6931

6.3.5. Функция taylor – разложение функции в ряд Тэйлора

Разложение функции в окрестности точки а имеет вид ряда Тэйлора

,

который при представляет собой ряд Маклорена .

Синтаксис функции:

taylor(f)– возвращение по умолчанию шести членов ряда Маклорена;

taylor(f,n)– возвращение разложения в ряд Маклорена, удерживается n-1членов;

taylor(f,a) taylor(f,a,n)– то же для ряда Тэйлора.

Пример: разложим функцию в ряд Маклорена, удерживая 6 (по умол­чанию), 3 и 10 членов, вычислим значения функции при и сравним с точным:

» syms x;

» f=exp(-x);

» u3=taylor(f,3)

u3 =

1-x+1/2*x^2

» u6=taylor(f)

u6 =

1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4-1/120*x^5

» u10=taylor(f,10)

u10 =

1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4-1/120*x^5+1/720*x^6-1/5040*x^7+1/40320*x^8-1/362880*x^9

» x=1.0;

» s3=subs(u3); s6=subs(u6); s10=subs(u10);

» a=exp(-1)

a =

0.3679

» disp(a-s3)

-0.1321

» disp(a-s6)

0.0012

» disp(a-s10)

E-007

Упражнение. Разложить в ряд Тэйлора функцию в окрест­но­сти точки с точностью до 9 членов разложения.

Поиск по сайту: