Графическая среда PDE ToolBox

Лабораторная работа № 7. Использование MATLAB для решения уравнений в частных производных

Введение

Система MATLAB оснащена разнообразными библиотеками функций, специализированных для решения задач из различных областей математики, физики, механики и других научных направлений. Эти библиотеки в английских названиях содержат слово ToolBox, что в переводе означает «ящик инструментов».

Предусмотрен ToolBox для численного решения краевых задач уравнений математической физики, области определения которых двумерные, т.е. лежат в плоскости, параметризованной двумя декартовыми координатами x и y. Он имеет название PDE ToolBox, образованное от слов Partial Differential Equations (уравнения в частных производных).

Дифференциальные уравнения, определяющие искомые решения в заданной области G, содержат частные производные по x и y различных порядков, и поэтому называются уравнениями в частных производных. Уравнения статических задач содержат только пространственные производные и во многих случаях относятся к классу эллиптических уравнений в соответствии с принятой в математике классификацией. Такие уравнения дополняются краевыми условиями на границе области определения, которые дают однозначность решения задачи.

В динамических задачах в качестве независимой переменной присутствует время, и в уравнениях содержатся также частные производные искомых решений по времени. Для однозначности решения в этом случае дополнительно к граничным условиям должны задаваться начальные условия.

PDE ToolBox позволяет решать уравнения и системы уравнений в общей постановке, но для специализированных типов задач предусмотрена возможность упрощенного задания исходных данных посредством специальных интерфейсов.

Из их числа применительно к исследованиям прочностных свойств изделий представляют интерес два класса задач:

- задача расчета температурного поля в пластине из проводящего тепло материала при действии тепловых нагрузок,

- задача расчета плоского напряженного состояния пластинки под действием внешних нагрузок.

Дифференциальные уравнения для этих задач в статической постановке относятся к классу эллиптических. Динамические уравнения первого из этих классов являются гиперболическими, а второго – гиперболическими.

В данной работе рассмотрена задача расчета статического температурного поля в пластине.

Графическая среда PDE ToolBox

С помощью PDE ToolBox могут быть решены двумерные уравнения математической физикис применением метода конечных элементов. Вызов графической среды PDE ToolBox выполняется командой pdetool или pdeinit (см. рис. 1).

Можно выделить следующие этапы решения уравнений в частных производных:

1. Конструирование (построение) области, в которой решается уравнение.

2. Ввод уравнения в частных производных.

3. Определение начальных и граничных условий.

4. Триангуляция области.

5. Решение уравнения.

6. Визуализация результата.

Рис. 1 Графическая среда PDE ToolBox

Поиск по сайту: