Решение.Система имеет две степени свободы, в качестве обобщенных координат выбираем:
1) угол поворота j основания вместе с цилиндром , отсчитанный от горизонтали (в начальный момент j = j0), q1=j;
2) координату S движения центра масс цилиндра 2 на направляющей основания 1, отсчитанную от его начального положения, q2= Oн.
Таким образом, обобщенные координаты:( q1=j), ( q2= S ),
обобщенные скорости: .
Расчет кинетической энергии системы
Кинетическую энергию рассматриваемой механической системы представляем в виде функции времени t, обобщенных координат q1 = , q2 =S и обобщенных скоростей
T = T ( .
Кинетическая энергия основания (1) – нижнего станка, массой m1 , совершающего вращательного движение относительно оси OZ:
, где по теореме Гюйгенса-Штейнера . .
Кинетическая энергия ствола (трубы) (2) –массой m2 , совершающего плоскопараллельное движение относительно неподвижной системы отсчета:
Формулы преобразования координат и поворотная матрица относительно оси OZ имеют следующий вид:
– для центра масс основания
– для центра масс цилиндра
Матрица скоростей:
После приведения подобных членов относительно обобщенных скоростей, получаем T= T1+T2,
Уравнения Лагранжа второго рода для данной системы
– для q1
– для q2
Вычислим производные от кинетической энергии системы:
1) Для q1 =φ ,
Ι
где
2) Для q2 =S ,
.
Запишем окончательно левые части уравнений Лагранжа второго рода, оставив только слагаемые со вторыми производными от обобщенных координат. Все остальные переносятся в правую часть. Таким образом, обозначив слагаемое в последнем выражении как - окончательно получаем уравнение Лагранжа второго рода
II
.
Виртуальная работа сил, действующих на рассматриваемую систему.
Обобщенные силы
Виртуальная работа ищется от сил двух типов:
1) всех заданных активных сил:
- сил тяжести основания m1 g , ствола m2 g;
- силы давления пороховых газов на внутреннюю поверхность дна цилиндра, меняющуюся по следующему закону:
- Силы упругости пружины жёсткостью : =C1λ=C1·Yk1 , где Yk1=l1·sin φ,
=C1 l1·sin φ;
- Силы упругости пружины жёсткостью : =C2λ=C2· Yk2, где Yk2=·l2·sin φ,
=C2·l2·sin φ;
- Моментов упругости спиральной пружины:
2) cил трения:
Fтр=f·N=f·m2·g·cos φ.
Так как обобщённые координаты – независимые друг от друга параметры, то и их вариации тоже независимы. Поэтому, для определения обобщенных сил используем принцип независимости или замораживания, находим виртуальные работы, соответствующие виртуальным перемещениям поочередно.
. (5)
1)
,где
Окончательно:
Сравнивая множитель в полученном выражении виртуальной работы перед вариацией dj с формулой (5), находим выражение для обобщенной силы :
2)dS ¹ 0, dj =0 (j = const);
Сравнивая множитель в полученном выражении виртуальной работы перед вариацией dS с формулой (5), находим выражение для обобщенной силы :