Для получения аналитического решения линейных ОДУ в MathCAD необходимо выполнить следующие действия (пример 1 рис. 11):
Напечатать исходное уравнение, используя операторы дифференцирования и комбинацию клавиш [Ctrl]= для печати символа =.
Отметив независимую переменную, выполнить прямое преобразование Лапласа Symbolic → Transforms → Laplaсе Transform (Преобразование Лапласа). Результат для ОДУ выше 1-го порядка будет помещен в буфер обмена. Вызовите его, нажав клавишу F4.
По результатам преобразования Лапласа «вручную» составить алгебраическое уравнение, приняв обозначения L = laplace(y(t), t, s), C1 = y(0)и C2 = diff(y(0), 0).
Решить составленное алгебраическое уравнение относительно переменной L, используя командуSymbolic → Solve for Variable (Решить относительно переменной).
Рис. 11. Некоторые возможности решения ОДУ в MathCAD
Отметить переменную s и, произведя обратное преобразование ЛапласаSymbolic → Transforms → Inverse Laplace Transform (Обратное преобразование Лапласа), получить решение заданного ОДУ в виде временной зависимости.
Порядок выполнения лабораторной работы № 6
Задание 1.Решить задачу Коши: , y(0) = 1 с шагом h = 0.1 на отрезке [0, 1]:
· методом Эйлера;
· методом Рунге – Кутты (коэффициенты ki задать как функции от x и y);
· методом Адамса;
· используя функцию rkfixed.
Варианты задания 1
Номер
варианта
f(x, y)
Номер
варианта
f(x, y)
Номер
варианта
f(x, y)
x+ y
2 y – cos 2 x
2 y + 3 e - x
2 x 2 + 2 y
y – e x / 2 + 2
y / 2 – e - x
e x–3 y
3 y–2 sin x
y + (cos x) /3
y – sin x
e 2 x–y
y – 4 x + 5
y / 3–x 2
2 sin x + y
2 x – y / 3–e x
Задание 2. Построить графики решений, полученных методами Эйлера, Рунге–Кутты, Адамса и с помощью функции rkFixed. Вычислить в точке х = 1 относительную погрешность для каждого метода.
Задание 3. Найти аналитическое (точное) решение ОДУ из задания 1 с помощью преобразований Лапласа (команды Symbolic → Transforms → Laplaсе TransformиInverse Laplace Transform).
Задание 4. Решить задачу Коши для системы ОДУ при заданных начальных условиях на отрезке [0, 2] c шагом h = 0.2. Решать с помощью функции rkFixed. Построить графики функций u(t) и v(t).
Варианты задания 4
Номер
варианта
Система ОДУ
Начальные
условия
Номер
варианта
Система ОДУ
Начальные
условия
u(0)
u’(0)
v(0)
v’(0)
u(0)
u’(0)
v(0)
v’(0)
1.5
1.5
-1
-1
-1.5
-1
-1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
-1
-1
1.5
-1
1.5
-2
0.5
1.5
-1
-0.5
-1
0.5
-2
-1
-1
1.5
Задание 5. На отрезке [a, b] с использованием функций load, score и sbval преобразовать краевую задачу , при граничных условиях y(a) = А, y(b) = В к задаче Коши и найти решение заданного ОДУ в 10 промежуточных точках с помощью функции rkFixed.