Для того чтобы продифференцировать функцию f(x) необходимо:
1. Если вычисляется производная функции в точке, то указывается значение этой точки, например x:=1.
2. Ввести оператор дифференцирования нажатием кнопки Производная (Derivative) на панели Матанализ (Calculus) или ввести с клавиатуры вопросительный знак.
3. В появившихся местозаполнителях ввести функцию, зависящую от аргумента x, т.е. f(x), и имя самого аргумента x.
4. Ввести знак равенства (=) для численного вывода результата или знак символьного равенства (®) для получения результата в символьном виде.
Пример
Вычислить дифференциалы функций:
1) в точке x=0,01;
2) в точке x=0,1;
3) s(x)=sin x;
4) q(x)=sin x в точке x=3 (символьное значение).
Порядок ввода:
Производные высших порядков
Mathcad позволяет численно определять производные высших порядков до 5-го включительно. Чтобы вычислить производную функции f(x) N-го порядка в точке x, нужно проделать те же самые действия, что и при взятии первой производной, за тем исключением, что вместо оператора производной необходимо применить оператор N-й производной (Nth Derivative). Этот оператор вводится с той же панели Матанализ (Calculus) либо с клавиатуры нажатием клавиш [Ctrl]+[?] и содержит еще два местозаполнителя, в которые следует поместить число N. В полном соответствии с математическим смыслом оператора, определение порядка производной в одном из местозаполнителей приводит к автоматическому появлению того же числа в другом из них. Чтобы вычислить производную более чем пятого порядка (т.е. N>5), нужно воспользоваться оператором N-й производной несколько раз.
Пример
1) Вычислить производную второго порядка в точке х=0,1:
2) Вычислить производную седьмого порядка:
a=8, b=8
3) Вычислить производную шестого порядка:
Задание по теме «Дифференцирование в системе Mathcad»
I.
Задание 1.Определить функцию f(x) таблично, вычислив значения уi = f(xi)в точках хi = a + h i, i = 0, 1, ..., 8,
h = (b – a)/8 на отрезке [a, b].
Варианты задания 1
Номер
варианта
f(x)
[a, b]
[c, d]
[0.4, 0.8]
[2, 2.1]
[0.8, 1.6]
[-1, - 0.9]
[0.18, 0.98]
[0.5, 0.6]
[0.8, 1.6]
[2, 2.1]
[0, 0.4]
[1.5, 1.6]
[0.8, 1.6]
[1, 1.1]
[0.4, 1.2]
[2, 2.1]
[0.8, 1.2]
[1, 1.1]
(x + 1) sin x
[1, 5]
[1, 1.1]
5x + x lg x
[0.2, 1]
[1.3, 1.4]
(2x + 3) sin x
[0.4, 1.2]
[0.5, 0.6]
[0.4, 1.2]
[1, 1.1]
1/(1 + x + x2)
[0, 4]
[2, 2.1]
(1+x)/(2+x)
[0.4, 0.8]
[1.5, 1.6]
[0.4, 1.2]
[0.5, 0.6]
II. Вычислить производную функции y(x):
1) y(x)=x2+3x+1
2) y(x)=arcsin2x
3) y(x)=
4)
5)
III. Вычислить производную функции y(x) в точке x0:
1) y(x)=x-cosx, x0=-3
2) y(x)=sinx2+x2, x0=2
3) y(x)=0,5x×cosx , x0=3
4) y(x)=5(sinx-cos5x), x0=-2
5) y(x)=sin(3/x+3)+2x , x0=3
IV. Вычислить производную старшего порядка функции y(x) в точке x0:
1) y(x)=x2 – cosx, x0=-3, второго порядка
2) y(x)=e -2x+ x3 , x0=2, третьего порядка
3) y(x)=ex+ x4/3 , x0=0,5, шестого порядка
Вычисление интегралов
Существует несколько методов вычисления определенных интегралов: метод прямоугольников, метод трапеции, метод касательных и метод Симпсона, которые дают разную точность при вычислении интеграла [*]. Для вычисления определенных интегралов численными методами необходимо:
1. Указать подинтегральную функцию.
2. Указать верхний и нижний пределы интегрирования.
3. Указать количество точек, на которые разбивается отрезок интегрирования.
4. Вычислить шаг интегрирования.
5. Написать формулу интегрирования.
Для каждого метода интегрирования в алгоритме будет меняться только формула интегрирования, т.е. пункт 5.
Пример
Вычислить , .
Рассмотрим вычисление определенного интеграла с помощью метода прямоугольников.
Порядок ввода:
– подинтегральная функция
a:= 0 – нижний предел интегрирования
b:= p – верхний предел интегрирования
t:= 40 – количество точек разбиения отрезка интегрирования
– шаг интегрирования
x:= a, a + h..b
i:=1..t
S=3.943
Построим график функции f(x) и установим для него следующие параметры: вспомогательные линии по обеим осям (вкладка Оси X-Y) и тип представления ряда данных – bar (прямоугольник) на вкладке След (рис. 11).
Рис. 11. Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников
При вычислении интегралов не обязательно пользоваться численными методами, можно использовать стандартную функцию Mathcad.
Порядок набора данных:
1. Ввести интегрируемую функцию.
2. Указать пределы интегрирования.
3. Ввести знак интеграла с помощью соответствующей кнопки на панели Матанализ (Calculus) или вводом с клавиатуры сочетания клавиш [Shift]+[F7].
4. Нажать [=].
Пример
Вычислить определенный интеграл , где , a=0, b=2×p.
Порядок ввода:
С помощью панели Матанализ (Calculus) можно вычислять двойные интегралы.