Завдання 2. Геометрична ймовірність

Завдання 1. Класичне означення ймовірності

1. Знайти ймовірність того, що серед 5 вибраних навмання цифр: а) немає цифри 0;

б) немає цифри 1.

2. Знайти ймовірність того, що дні народження 12 осіб припадуть на різні місяці року.

3. У ліфті 6 пасажирів. Ліфт зупиняється на 10-ти поверхах. Яка ймовірність того, що всі пасажири вийдуть на різних поверхах?

4. Визначити, що ймовірніше: при підкиданні чотирьох гральних кісток отримати принаймні одну одиницю чи при 24 підкиданнях двох кісток отримати принаймні один раз дві одиниці.

5. В лотереї є 100 білетів, серед яких 10 виграшних. Обчислити ймовірність виграшу для того, хто купив 20 білетів.

6. В Андрія в кишені 5 ключів, з яких тільки один підходить до його дверей. Він послідовно без повернення витягує ключі до тих пір, поки не з’явиться потрібний ключ. Знайти ймовірність того, що потрібний ключ з’явиться при 3-му витягуванні.

7. Кинуто 6 гральних кісток. Знайти ймовірність того, що: а) на всіх кістках випаде різна кількість очок; б) сума всіх очок, що випали, дорівнює 7.

8. Знайти ймовірність того, що серед 7 вибраних навмання цифр: а) немає цифр 5 і 1; б) немає цифри 5 або немає цифри 1.

9. Гральну кісточку кидають 4 рази. Яка ймовірність того, що: а) хоча б 1 раз випаде 6,

б) шестірка випаде точно один раз?

10. В урні 3 чорних і 7 білих кульок. З урни без повернення навмання витягнули дві кульки. Знайти ймовірність того, що: а) витягнули кульки одного кольору; б) витягнули кульки різного кольору.

11. Учаснику лотереї «Спортлото» з 36 видів спорту (позначених числами від 1 до 36) потрібно назвати 5. Повний виграш отримає той, хто правильно вкаже всі 5 назв. Виграші отримають і ті, хто вгадає не менше трьох назв. Обчислити ймовірність того, що учасник «Спортлото» відгадає 5, 4, 3 назви. Яка ймовірність отримати виграш у «Спортлото»?

12. 10 осіб, серед є особи А та В, шикуються в шеренгу в довільному порядку. Яка ймовірність того, що між особами А та В стане рівно 3 особи?

13. Написано 10 листів, але адреси на конвертах написані навмання. Яка ймовірність того, що принаймні один із адресатів отримає призначений для нього лист?

14. Для зменшення загальної кількості ігор 20 команд розбили на дві підгрупи по 10 команд в кожній. Яка ймовірність того, що дві найсильніші команди виявляться:

а) в різних підгрупах; б) в одній підгрупі?

15. Яка ймовірність того, що вісім тур, які навмання розміщені на шаховій дошці, не зможуть бити одна одну?

16. У три вагони поїзда заходять 9 пасажирів. Яка ймовірність того, що а) у перший вагон зайде 3 пасажири; б) в кожен вагон зайде по три пасажири; в) в один вагон зайде 4, в другий — 3, а в третій — 2 пасажири?

17. В групі є 25 студентів. Яка ймовірність того, що принаймні у двох з них збігаються дні народження?

18. Для зменшення загальної кількості ігор 20 команд розбили на дві підгрупи по 10 команд в кожній. Яка ймовірність того, що чотири найсильніші команди попадуть по дві в різні підгрупи?

19. 15 студентів і 15 студенток довільним чином займають місця в ряду з 30 місць. Яка ймовірність того, що: а) жодні дві студентки не сидітимуть поруч; б) всі студентки сидітимуть поруч?

20. На шахову дошку поставили навмання дві тури (білу і чорну). Що ймовірніше: битимуть чи не битимуть вони одна одну?

21. На іспиті може бути запропоновано 30 питань. Студент знає відповіді на 20. Екзаменатор задає студенту 10 питань. Для того, щоб скласти іспит, треба відповісти не менше, ніж на 5 питань. Яка ймовірність того, що студент складе іспит?

22. На поличці у випадковому порядку розташовано 40 книжок, серед яких — трьохтомник. Знайти ймовірність того, що ці томи будуть стояти в порядку зростання зліва направо, але не обов’язково поруч.

23. 10 осіб, серед є особи А та В, займають місця за круглим столом в довільному порядку. Яка ймовірність того, що особи А та В будуть сидіти поруч?

24. З колоди 36 карт довільним чином витягують дві карти. Яка ймовірність того, що:

а) хоча б одна карта є тузом; б) обидві карти одної і тої ж масті?

25. З колоди 36 карт довільним чином витягується одна карта, після чого вона кладеться назад. Потім з колоди витягують дві карти. Знайти ймовірність того, що всі три карти однієї і тої ж масті.

Завдання 2. Геометрична ймовірність

1. Стержень довжиною L навмання розламали на дві частини. Яка ймовірність того, що довжина меншої частини не перевищує L/3?

2. В круг вписано квадрат. Точку навмання кидають в круг. Яка ймовірність того, що вона попаде в квадрат?

3. В крузі випадковим чином проводиться хорда. Це означає, що задано напрямок хорди, а її середина з однаковою ймовірністю може попасти в будь-яку точку на діаметрі, що перпендикулярний їх напрямку. Обчислити ймовірність того, що довжина хорди більша від довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника.

4. На відрізок, який розділений на три рівні частини, навмання кинуто три точки. Знайти ймовірність того, що на кожну з частин відрізку попаде по одній точці.

5. Яка ймовірність того, що з трьох навмання взятих відрізків довжиною на більше L можна побудувати трикутник?

6. На відрізок довжиною L навмання кинуто дві точки A і B. Яка ймовірність того, що довжина відрізку АВ менша L/2?

7. В лінійному рівнянні коефіцієнт навмання вибирається із замкнутого проміжку , а вільний член — з проміжку . Визначити ймовірність того, що корінь даного рівняння не менший одиниці.

8. Після бурі між 30-м і 80-м кілометрами телефонної лінії обірвався провід. Яка ймовірність того, що розрив відбувся між 50-м і 65-м кілометрами лінії?

9. Якої товщини повинна бути монета, щоб ймовірність падіння її на ребро дорівнювала 1/3?

10. На відрізок навмання кидають три точки, одну за одною. Яка ймовірність того, що третя по рахунку точка впаде між двома першими?

11. В крузі випадковим чином проводиться хорда. Це означає, що один кінець хорди закріплено, а другий з однаковою ймовірністю може потрапити в будь-яку точку кола. Обчислити ймовірність того, що довжина хорди більша від довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника.

12. На площині проведено паралельні прямі на однаковій відстані d одна від одної. На площину навмання кидають монету радіуса R (R<d/2). Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодну з прямих.

13. Навмання взято два додатні числа х та у, кожне з яких не перевищує 2. Знайти ймовірність того, що добуток не більший 1, а частка не більша 2.

14. Коефіцієнти p і q квадратного рівняння вибираються навмання з проміжку . Яка ймовірність того, що корені рівняння будуть дійсними числами?

15. На площині проведено паралельні прямі, відстань між якими рівна 2а. На площину навмання кидають голку довжиною 2L (L<a). Яка ймовірність того, що вона перетне одну з прямих?

16. В сигналізатор надходять сигнали від двох пристроїв, причому надходження кожного із сигналів рівноможливе в будь-який момент проміжку часу тривалістю Т. Сигналізатор спрацьовує, якщо різниця між моментами надходження сигналу менша t (t<T). Знайти ймовірність того, що сигналізатор спрацює за час Т, якщо кожен з пристроїв надішле по одному сигналу.

17. На паркетну підлогу навмання кидають монету діаметром d. Паркет має форму квадратів зі стороною b (b>d). Яка ймовірність того, що: а) монета не перетне жодної зі сторін квадратів паркету; б) монета перетне не більше однієї зі сторін квадратів паркету?

18. Два пароплави мають підійти до однієї пристані. Поява пароплавів — незалежна випадкова подія і однаково ймовірна протягом доби. Знайти ймовірність того, що одному з пароплавів доведеться чекати звільнення пристані, якщо час стоянки першого пароплаву — одна година, а другого — дві години.

19. В крузі випадковим чином проводиться хорда. Це означає, що середина хорди з однаковою ймовірність може потрапити в будь-яку точку круга. Обчислити ймовірність того, що довжина хорди більша від довжини сторони вписаного рівностороннього трикутника.

20. На відрізок ОА довжиною L числової осі ОХ навмання поставлено дві точки В(х) та С(у), причому . Знайти ймовірність того, що: а) довжина відрізка ВС менша L/2;

б) довжина відрізка ВС буде меншою від довжини відрізка ОВ.

21. В кулю радіуса R навмання кидають N точок. Знайти ймовірність того, що відстань від центру кулі до найближчої точки не менша b, 0 < b < R.

22. На колі навмання взято три точки А, В, С. Знайти ймовірність того, що трикутник АВС гострокутний.

23. Дві особи А та В домовилися зустрітися в проміжку часу від 10 до 12 години ранку. Обидві особи приходять в довільний момент часу з цього проміжку не залежно одна від одної і чекають 20 і 10 хвилин відповідно. Яка ймовірність того, що вони зустрінуться?

24. На відрізок довжиною довільним чином ставлять дві точки. Яка ймовірність того, що відстань між ними не буде перевищувати ?

25. Сфера розміщена в еліпсоїді . Знайти ймовірність того, що кинута навмання всередину еліпсоїда точка виявиться всередині сфери?

Поиск по сайту: