Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Статистичне означення ймовірності

Самостійна робота №3

Тема: Розв’язування задач з теми «Означення ймовірності».

Мета: Закріпити набуті знання та навички, перевірити їх при виконанні практичних завдань.

Завдання

1. Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;

2. Дати відповіді на поставлені питання (лекція 3);

3. Виконати письмово приведені завдання;

4. Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;

5. Зробіть висновки.

Рекомендована література:

1. Барковський В.В. Теорія ймовірностей та математична статистика – К: Центр учбової літератури, 2010р.

2. Кочетков Е.С. Теорія ймовірностей і математична статистика – М: Форум, 2011р

Класичне означення ймовірності

Нехай простір елементарних подій є скінченною множиною

Ω = {ω1, ω2, ….ωN}, N (Ω) = N,

тобто є лише N можливих результатів випробування, отже, множина Ω є повною групою всіх попарно несумісних результатів випробування.

Вважатимемо додатково, що всі елементарні події рівноможливі, тобто з міркувань симетрії або якихось інших випливає, що нема об'єктивних причин вважати одну з елементарних подій більш імовірною порівняно з іншими. Наприклад, якщо експеримент полягає в одноразовому киданні грального кубика правильної форми, виготовленого з однорідного матеріалу, то всі 6 результатів цього випробування природно вважати рівноможливими.

Класичне означення ймовірності формулюють для подій, які є
підмножинами множини A. Якщо А = { ω1, , ….ωiN(A)}, де 1 ≤ і1< і2<… < і N (A) ≤ N, N(А) = 0,1,2,…N, то ймовірність події А визначають за формулою:

(1)

де N(А) - кількість елементів множини А.

Отже, ймовірністю події А називається відношення кількості сприятливих для події А елементарних подій до кількості всіх рівноможливих і попарно несумісних результатів випробування.

Визначена за формулою (1) функція Р(А) задовольняє всі аксіоми теорії ймовірностей. З формули (1) випливає, що ймовірність кожної елементарної події ωi рівна

(2)

Отож класична схема означення ймовірності може служити моделлю тих випадкових явищ, для яких є природним припущення (2).

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що кількість очок, яка випаде при одноразовому киданні кубика, буде а) парною (подія А); б) кратною трьом (подія В).

Розв 'язання. Ω = {ω1, ω2, ….ωN}, N (Ω) = 6,

A= {ω2, ω4, ω6}, N (A) = 3, B= {ω3, ω6}, N (B) = 2

Геометричне означення ймовірності

Класичне означення ймовірності не можна застосувати до випробування, для якого множина. Ω є незліченною множиною елементарних подій.

Нехай простір елементарних подій Ω - це відрізок числової прямої або область на площині, або в просторі, а елементарні події ω - окремі точки в межах цієї області. Припустимо, що область Ω має скінченну міру μ(Ω) (на прямій - довжину, на площині - площу, у просторі - об'єм). Розглянемо систему F підмножин простору Ω, які мають міру. Відомо, що вони утворюють σ-алгебру. Множини з F назвемо випадковими подіями. Якщо експеримент має властивість симетрії щодо елементарних результатів (наприклад, деякий „точковий" об'єкт "навмання" кидаємо в межах області), то всі елементарні події „рівноправні", тож природно припустити, що ймовірність попадання елементарної події ю у будь-яку частину Ω пропорційна мірі цієї частини і не залежить від її розташування і форми. Тоді ймовірність будь-якої події AÎFможна обчислити, користуючись таким означенням.

Означення. Геометричною ймовірністю події А називається відношення міри μ(A) до міри μ(Ω), тобто

Можна показати, що геометрична ймовірність задовольняє всі аксіоми теорії ймовірностей.

Зауваження. За класичного означення ймовірності P(A) = Æ лише для А= Æ. . За геометричного це не так. Справді, нехай Ω - плоска область, А - точка або лінія, розміщена в Ω. Тоді за формулою геометричної ймовірності P (A) = 0, , хоча подія А є можливою - точка в разі її „кидання" на Ω може потрапити на А.

Приклад 2.Два дійсних числа випадковим чином вибираються з інтервалу [0; 5]. Яка ймовірність того, що:

а) сума двох чисел менша 4;

б) добуток двох чисел більший 5;

в) різниця двох чисел менша 2, а їх добуток більший 3.

Розв’язання. Позначимо через х перше число, вибране випадковим чином з інтервалу [0; 5], а через у — друге число. Тоді 0 х 5, 0 у 5. Внаслідок нескінченної кількості таких дійсних чисел треба скористатися означенням геометричної ймовірності. У цьому разі множиною всіх можливих наслідків випробування є квадрат (рис. 1) зі стороною 5, площа якого дорівнює 25, тобто т(Ω) = 25.

а) А ={сума двох чисел менша 4}, тобто А = {(х;у): х + у< 4}, або А ={у< 4- х}. Отже елементарні наслідки випробування, що сприяють події А, утворюють фігуру – прямокутний трикутник (заштрихований на рис. 1), площа якого є півдобуток катетів, тобто μ(А) = 4 ‧ 4 / 2 = 8.

Застосовуючи формулу (2) для геометричної ймовірності, отримуємо

б) Нехай подія В ={добуток двох чиселбільший 5}. Тоді В ={(х; у): ху > 5},

або

Множина всіх наслідків, що сприяють події В, відповідає фігура АВС, заштрихована на рис.2, де лінія АС є графік функції Обчислимо площу фігури:

Отже,

Статистичне означення ймовірності

Оскільки класичне означення ймовірності передбачає, що всі елементарні наслідки випробовування рівноможливі, що важко обґрунтувати, то розглядають ще й статистичне означення ймовірності.

Відносною частотою події А називають відношення кількості випробовувань, у яких подія А відбулася, до кількості всіх проведених випробовувань. Відносну частоту події А позначають де m – кількість випробувань, у яких відбулася подія А, n – кількість усіх проведених випробувань.

Число, навколо яких групуються значення частоти події А при великій кількості випробувань називають ймовірністю події А:

Приклад 3.При перевірці готовності продукції було виявлено5 бракованих одиниць продукції в 200 перевірених. Знайти відносну частоту браку.

Розв’язання.

Приклад 4. При стрільбі по мішені було виявлено, що відносна частота влучень дорівнює 0,85. Проведено 100 пострілів. Скільки пострілів було влучними.

Розв’язання.

 


Для самостійної роботи:

Варіант 1

1. Знайти ймовірність того, що при двох підкиданнях монети хоча б один раз випаде «реверс»

2. Студент з 12 питань, винесених на семінар вивчив 9. Щоб отримати «залік», треба з 2-х запропонованих питань відповісти хоча б на одне. Яка ймовірність того, що студент за семінар отримає «залік».

3. При перевірці готової продукції було виявлено 7 бракованих одиниць товару із 140 перевірених. Знайти ймовірність того, що навмання взята деталь - стандартна.

4. Абонент протягом години чекає телефонного дзвінка. Яка ймовірність того, що йому подзвонять протягом перших 25 хв?

 

Варіант 2

1. Знайти ймовірність того, що при двох підкиданнях мо­нети жодного разу не випаде «реверс».

2. Випробовування – кидають двічі ігровий кубик. Знайти ймовірність того, що сума очок – більше 3.

3. На площині проведено прямі на однаковій відстані 15 см. На цю площину кидають монету діаметром 5 см. Знайти ймовірність того, що монета перетне або доторкнеться одну з паралельних прямих.

4. Серед 30 пиріжків 2 «з сюрпризом». Яка ймовірність, що серед 2-х взятих навмання немає пиріжка «з сюрпризом»?

 

Варіант 3

1. Визначити ймовірність того, що при підкиданні граль­ного кубика випаде:

а) парна кількість очок;

в) кількість очок більше чотирьох;

2. На дощечку з текстом «буд. №  кв. » треба вклеїти на місце квадратів певні цифри. Куплені потрібні цифри – 2, 5, 5, 7, 7. Якщо викласти їх випадковим чином, яка ймовірність, що отримаємо потрібну комбінацію?

3. При стрільбі по мішені було виявлено, що відносна ча­стота влучень дорівнює 0,9. Проведено 70 пострілів. Скільки пострі­лів були влучними?

4. Серед 12 працівників Вашого відділу 3-м треба дати підвищення в посаді. Яка ймовірність, що Ви попадете в цю трійку?

 

Варіант 4

1. Укажіть ймовірність того, що при підкиданні двох гральних кубиків одночасно цифри, які випали на цих кубиках, будуть кратними трьом?

2. Визначити ймовірність того, що при підкиданні граль­ного кубика випаде:

а) непарна кількість очок;

б) кількість очок менше десяти;

3. В кошику фрукти 4-х видів: 2 груші, 2 яблука, 2 банани та 2 лимони. Випробовування - вибір навмання 3-х фруктів. Яка ймовірність, що всі будуть різні фрукти?

4. У круг навмання кинуто точку. Яка ймовірність того, що вона потрапить у квадрат, вписаний у це коло?

 

Варіант 5

1. З колоди навмання вибирають карту (колода з 36 карт). Знайти ймовірність того, що це не валет, дама чи король і не бубнова карта.

2. На 6 картках написані букви б, о, о, о, р, т (на кожній картці по 1 букві). Картки виймають навмання. Знайдіть імовірність того, що послідовність вийнятих карток утворить слово оборот?

3. В шухляді 5 білих та 7 чорних куль. З шухляди навмання вибирають дві кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі - білі.

4. Два дійсних числа випадковим чином вибираються з інтервалу [0; 4]. Яка ймовірність того, що сума двох чисел більша 4;

 

Варіант 6

1. У лотереї випущено 10000 квитків і встановлено: 10 виграшів по 200грн, 100 – по 100грн, 500 – по 25грн і 1000 – по 5 грн. Громадянин купив 1 квиток. Яка ймовірність того, що він виграє не менше 25 грн.

2. В кошику – 8 білих та 6 жовтих троянд. Навмання вибирають букет з 5 квітів. Яка ймовірність, що в букеті квіти різних кольорів?

3. Задумане 2-значне ціле число. Яка ймовірність, що число – парне і не містить однакових цифр?

4. Два дійсних числа випадковим чином вибираються з інтервалу [-4; 4]. Яка ймовірність того, що сума двох чисел - додатна величина.

Критерії оцінювання:

1-4 бали – конспект приведених прикладів;

Кожен розв’язаний приклад – 2 бали.

Максимальна кількість балів – 12.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.