Приклади оформлення задач до розділу

Самостійна робота №2

Тема: Розв’язування задач з теми «Операції над випадковими подіями».

Мета: Закріпити набуті знання та навички, перевірити їх при виконанні практичних завдань.

Завдання

1. Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;

2. Дати відповіді на поставлені питання (лекція 2);

3. Виконати письмово приведені завдання;

4. Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;

5. Зробіть висновки.

Рекомендована література:

1. Барковський В.В. Теорія ймовірностей та математична статистика – К: Центр учбової літератури, 2010р.

2. Кочетков Е.С. Теорія ймовірностей і математична статистика – М: Форум, 2011р

Теоретичний матеріал

Випадкові події та операції над ними.

Забезпечення певного комплексу умов називають випробуванням або дослідом, а можливий результат випробування — подією. Наприклад, підкидання монети є випробуванням, а випадання «герба» або «номіналу» — подіями. Події позначатимемо великими латинськими літерами: А, В, C.

Подію називають випадковою, якщо вона може відбутися або не відбутися в даному випробуванні.

Достовірною називають подію, яка обов'язково відбудеться в даному випробуванні.

Неможливою називають подію, яка точно не відбудеться в даному випробуванні.

Зауважимо, що будь-яка подія пов'язана з певним випробуванням. Дві події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої в одному й тому самому випробуванні. Дві події називають несумісними, якщо вони не можуть відбутися одночасно в одному й тому самому випробуванні.

Попарно несумісні випадкові події А₁,А₂,...,А_п утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування одна з них обов'язково відбудеться. Наприклад, події «виграш», «програш» і «нічия» (для певного гравця) утворюють повну групу подій у випробуванні — грі в шахи двох суперників.

Елементарними подіями (наслідками) у певному випробуванні називають усі можливі результати цього випробування, які не можна розкласти на простіші. Множину всіх можливих елементарних подій ω називають простором елементарних подій, який позначають Ω. Наприклад, при підкиданні грального кубика простір елементарних подій утворюють події ω_і = {випаде і очок}, і = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Елементарні події, при появі яких відбувається певна подія, називають сприятливими для цієї події. Наприклад, при підкиданні грального кубика для події А={випаде парне число очок} сприятливими є елементарні події ω₁, ω₃, ω_5.

Кожну подію можна розглядати як деяку підмножину простору елементарних подій у даному випробуванні. Зокрема, подія А = Ω є достовірною, а подія В = ∅ — неможливою.

Наприклад: Монету підкидають двічі. Для даного випробування описати простір елементарних подій.

Розв'язання. При двократному підкиданні монети можливі чотири елементарних наслідки: (А, А); (А, Р); (Р, А); (Р, Р),

де А — випадання аверса (зображення «герба»), Р — випадання реверса (зображення «номіналу»). Очевидно, вони утворюють повну групу подій, тому

Ω = {(А, А); (А, Р);(Р, А); (Р, Р)}

є простір елементарних подій даного випробування.

Операції над подіями

Сумою двох випадкових подій А і В називають таку подію, яка полягає в появі хоча б однієї з подій А або В, і позначають А + В (або А È В).

Сумою п випадкових подій А₁,А₂,...,А_n називають таку подію, яка полягає в появі принаймні однієї з цих подій (позначається ).

Добутком двох випадкових подій А і В називають таку подію, яка полягає в сумісній появі обох подій А і В, і позначають А • В (або А Ç В).

Добутком п випадкових подій А₁,А₂,...,А_п називають таку по­дію, яка полягає в сумісній появі всіх цих подій (позначається ).

Різницею двох випадкових подій А і В називають таку подію, яка полягає в виконанні події А і не виконанні події В, позначається як А – В, або А \ В.

Подію називають протилежною до події А в даному випробуванні, якщо вона відбувається, якщо не відбувається подія А, тобто = Ω – А. Очевидно, протилежні події не сумісні і утворюють повну групу подій.

Поняття суми і добутку подій можуть бути узагальнені на випадки будь-якого числа подій.

З визначення операцій додавання і множення слідують співвідношення:

1) A + А = A; A ‧ А = A ;

2) A + U = U; A ‧ U = A;

3) A+ Æ = A ; A‧ Æ = Æ;

4) A + B = B + A ; A ‧ B = B ‧ A;

5) (A + B) + C = A + (B + C); (A ‧ B) ‧ C = A‧ (B ‧ C);

6) A ‧ (B + C) = A ‧ B + A ‧ C.

Приклад 1. У ящику містяться кульки білого та чорного кольору. Навмання з нього виймають одну кульку. Подія А = {вийнято кульку білого кольору}, подія В = {вийнято кульку чорного кольору}. Сумісні чи несумісні ці події?

Розв’язання. Ці події несумісні, тому що поява події А виключає виконання події В(кулька може бути або чорною або білою), також події А і В утворюють повну групу подій і є протилежні: = В, = А.

Приклад 2. Підкидають два гральних кубики. Нехай події А_і = {випаде і очок на першому кубику}, і = 1, 2, 3,4, 5, 6, B_j = {випа­де і очокна другому кубику}, і = 1, 2, 3,4, 5, 6. Виразити через А_і, і B_j такі події:

а) сума очок на двох кубиках дорівнює п'яти;

б) випаде в сумі хоча б десять очок;

в) випаде в сумі не більше трьох очок.

Розв'язання.

а) Нехай С₁= {сума очок на двох кубиках дорівнює п’яти}. Ця подія можлива тільки тоді, коли на першому кубику випаде і очок, а та другому j очок так, щоб і + j = 5, тобто і =1, j =4, або і = 2, j = 3, або і = 3, j = 2, або і = 4, j = 1. Отже,

С₁= А₁• В₄ + А₂ • В₃ + А₃ • В₂ + А₄ • В₁.

б) Позначимо С₂ = {випаде в сумі хоча б десять очок}. Подія С₂ відбудеться тоді, коли на двох кубиках у сумі випаде або 10, або 11, або 12 очок, тобто і =4, j =6 або і =5, j =5 або і =6, j = 4 або і =6, j =5 або і =5, j =6 або і =6, j =6. Отже

С₂= А₄• В₆ + А₅ • В₅ + А₆ • В₄ + А₆ • В₅. + А₆ • В₆. + А₅ • В₆.

в) Нехай Сз={випаде в сумі не більше трьох очок}. Оскільки найменша кількість очок, яка може випасти на кожному кубику, дорівнює одиниці, то подія Сз можлива лише тоді, коли сума очок на двох кубиках дорівнюватиме двом або трьом. Тому

Сз = А₁ • В₁ + А₂ • В₁ + А₁ • В₂..

Приклад 3. Два стрільці роблять постріл у мішень по одному разу. Позначимо події А = {у мішень влучив перший стрілець}, В = {у мішеньвлучив другий стрілець}. Виразити через А і В такі події: С = {два влучення в мішень} D = {жодного влучення в мішень} Е = {хоча б одне влучення в мішень} F = {лише одне влучення в мішень}.

Розв'язання. Простір елементарних подій складається з чотирьох подій

А • В, • В, А • , • .

Подія С відбудеться тоді, коли обидва стрільці влучать с мішень. Тому вона є добутком двох подій А і В. Отже С = А • В

Подія D полягає в тому, що в мішень не влучить жодний стрілець, тобто не влучить ані перший ( ), ані другий ( ). Тому D =. • .

Подія Е відбудеться тоді, коли влучить хоча б один стрілець. Це може бути толі, коли обидва стрільці влучать с мішень, або влучить перший, але не влучить другий, або не влучить перший, але влучить другий. Тоді

лець. Це може бути тоді, коли або обидва стрільці влучать у мішень, або перший влучить, другий не влучить, або перший не влучить, а другий влучить. Тому

Е = АВ + В + А , тобто Е = А + В.

Подія F полягає в тому, що перший стрілець влучить в мішень, а другий не влучить, або другий влучить, а перший не влучить. Тому

F = В + А .

Приклади оформлення задач до розділу

Задача 1.Два стрільці роблять по одному пострілу в мішень. Сумісні чи несумісні події А і В, якщо А = { перший стрілець влучив у мішень}, В = { другий стрілець влучив у мішень}.

Відповідь.Сумісні.

Задача 2.Перевірити, чи утворюють повну групу такі події:

а) А = {випаде не менше трьох очок } В = {випаде більше трьох очок} у випробовуванні – підкиданні грального кубика

б) А ={ один промах} В = { одне влучення} С = { два влучення} у випробовуванні, яке полягає в тому, що два стрільця роблять одному пострілу в мішень;

в) А ={ випадання двох аверсів} В ={випадання хоча б одного реверсу} у випробовуванні – підкиданні двох монет.

Відповідь.У всіх випадках події не утворюють повної групи подій і не є протилежними.

Задача 3.Описати простір елементарних подій для випробування, яке полягає в підкиданні грального кубика.

Відповідь. Ω = {ω₁; ω₂; ω₃ ; ω₄; ω₅; ω₆ }, де ω_і ={випаде і очок}.

Задача 4.Підкидають двічі гральний кубик. Нехай А_і = {випаде і очок при першому підкиданні} В_і = {випаде і очок при другому підкиданні } Виразити через А_і і В_і такі події:

А = {обидва рази випаде парна кількість очок},

В = {сума очок при двох підкиданнях дорівнює 6},

С = { сума очок при двох підкиданнях більше 8},

D = {обидва рази випаде однакова кількість очок}.

Відповідь.А = ;

В=А₁В₅+ А₂В₄+ А₃В₃+ А₄В₂+ А₅В₁;

С= А₃В₆+ А₄В₅+ А₄В₆+ А₅В₄+ А₅В₅+ А₅В₆+ А₆В₃+ А₆В₄+ А₆В₅+ А₆В₆;

D= А₁В₁+ А₂В₂+ А₃В₃+ А₄В₄+ А₅В₅+ А₆В₆;

Задача 5.Студент на екзамені відповідає на білет, у якому три питання. Нехай А_і = {студент відповів на і-те питання}. Виразити через А_і такі події:

А ={Студент відповів принаймні на два питання },

В ={Студент не відповів на жодне питання },

С ={студент відповів тільки на одне питання }.

Відповідь.А = ; В= ;

С= .

Задача 6.Підкидають три монети. Для даного випробування за­писати простір елементарних подій і розкласти на елементарні такі події:

А = {на двох монетах випаде «аверс»},

В = {на жодній монеті не випаде «реверс»},

С = {хоча б на одній монеті випаде «реверс»}.

Відповідь. Ω = {(А, А, А); (А, А, Р); (А, Р, А); (А, Р, Р); (Р, А, А); (Р, А, Р);(Р, Р, А); (Р, Р, Р)}, А = {(А, А, Р); (А, Р, А); (Р, А, А)}; В = {(А, А, А)}; С = {(А, А, Р); (А, Р, А); (А, Р, Р); (Р, А, А); (Р, А, Р); (Р, Р, А); (Р, Р, Р)}.

Задача 7.Стрілець виконує чотири постріли в мішень. Нехай подія А_і = {влучення в мішень при і-му пострілі}. Виразити через А_і такі події:

А = {три влучення },

В = {хоча б один промах },

С = {не більше одного влучення },

D = {хоча б одне влучення}.

Відповідь.А = ;

В = ;

С = ;

D = .

Задача 8.Підкидають чотири рази монету. Розкласти на елементарні такі події:

А = { на двох монетах випаде «аверс»}

В = {випаде не більше одного «реверса» }

Відповідь.А = {(А, А, Р, Р); (А, Р, А, Р); (А, Р, Р, А); (Р, А, А, Р); (Р, А, Р, А); (Р, Р, А, А)}, В = {(А, А, А, А); (А, А, А, Р);(А, А, Р, А); (А, Р, А, А);(Р, А, А, А)}.

Для самостійної роботи:

Варіант 1

1. Перевірити, чи утворюють повну групу такі події:

А = {випаде більше трьох очок }, В = {випаде не більше трьох очок} у випробовуванні – підкиданні грального кубика

2. Випробовування – з короба з шаховими фігурами відбирають навмання 1 фігуру. Позначимо події: А= {фігура чорного кольору}, В = {взята фігура - слон}. Чи сумісні події А і В, чи протилежні, чи утворюють повну групу подій? Виразити через А і В такі події: С= {фігура чорного кольору, але не слон}, D={фігура - слон чорного кольору}, Е={фігура – не слон білого кольору}.

3. Стрілець виконує три постріли в мішень. Нехай подія А_і = {влучення в мішень при і-му пострілі}. Виразити через А_і такі події:

А = {три влучення },

В = {хоча б один промах },

С = {не більше одного влучення },

D = {хоча б одне влучення}.

4. Привести приклад випробовування і кількох подій до нього. Прокоментувати події, що є сумою, добутком, різницею приведених подій.

Варіант 2

1. Перевірити, чи утворюють повну групу такі події:

А = {карта бубнова}, В = {карта – не туз} у випробовуванні – вийняти карту з колоди в 36 карт.

2. Випробовування – кидають ігровий кубик. Позначимо події: А= {випадає парне число очок}, В = {випаде число очок більше 3}. Чи сумісні події А і В, чи протилежні, чи утворюють повну групу подій? Виразити через А і В такі події: С= {випаде 4 або 6 очок}, D={випаде 2, 4, або 6 очок}, Е={випаде 2 очок}.

3. Студент на екзамені відповідає на білет, у якому три питання. Нехай А_і = {студент відповів на і-те питання}. Виразити через А_і такі події:

А ={Студент відповів на два питання },

В ={Студент не відповів на жодне питання },

С ={студент відповів на всі питання }.

4. Привести приклад випробовування і кількох подій до нього. Прокоментувати події, що є сумою, добутком, різницею приведених подій.

Варіант 3

1. У випробовуванні – підкиданні двох монет позначимо події А ={ випадання двох реверсів} В ={випадання хоча б одного аверсу}. Перевірити, чи утворюють повну групу такі події.

2. Випробовування – виймають навмання карту з колоди в 36 карт. Позначимо події: А= {випадає бубнова карта}, В = {випаде карта числова (6-10)}. Чи сумісні події А і В, чи протилежні, чи утворюють повну групу подій? Виразити через А і В такі події: С= {карта – бубнова лялечка (валет, дама, король, туз)}, D={числова карта але не бубнова}.

3. Підкидають три рази монету. Розкласти на елементарні такі події:

А = { на трьох монетах випаде «аверс»}, В = {випаде не більше одного «аверсу»}.

4. Привести приклад випробовування і кількох подій до нього. Прокоментувати події, що є сумою, добутком, різницею приведених подій.

Варіант 4

1. У випробовуванні – вибір студента в групі позначимо події А ={студент навчається на 4 і 5} В ={студент має борги}. Перевірити, чи утворюють повну групу такі події.

2. Випробовування – вибір навмання деталі з партії, серед яких є браковані та стандартні, крім того деталь виготовляється трьома виробниками – X, Y, Z. Позначимо події: В = {деталь – бракована}, X, Y, Z={деталь виготовлена виробником відповідно X, Y, Z}. Чи сумісні події X, Y, Z і В, чи протилежні, чи утворюють повну групу подій? Виразити через X, Y, Z і В такі події: E= {вибрана деталь стандартна і виготовлена виробником X або Y}, F={ вибрана деталь бракована і виготовлена виробником Х}.

3. В кошику фрукти 4-х видів: груші, яблука, банани та лимони. Випробовування– вибір навмання 3-х фруктів. Позначимо події Г_і, Б_і, Я_і, Л_і – і – кількість взятих груш, бананів, яблук або лимонів відповідно. Позначити через Г_і, Б_і, Я_і, Л_і події А ={взяті різні фрукти}, В={взято хоч одне яблуко}.

4. Привести приклад випробовування і кількох подій до нього. Прокоментувати події, що є сумою, добутком, різницею приведених подій.

Варіант 5

1. У випробовуванні – вибір потрібного потяга позначимо події А ={прибуває вранці} В ={прибуває вночі}, С ={прибуває вдень}. Перевірити, чи утворюють повну групу такі події.

2. На полиці стоять підручники з математики, фізики та хімії. Випробовування – вибір 2-х підручників навмання. Позначимо події: М_і, Ф_і, Х_і – і – кількість взятих підручників з математики, фізики чи хімії. .Виразити через М_і, Ф_і, Х_і такі події: E= {вибрані підручники з різних дисциплін}, F={вибрані підручники з однакових дисциплін }, G={серед вибраних підручників є хоч один з хімії }.

3. В двох шухлядах білі та чорні кулі. З обох шухляд навмання вибирають по одній кулі. Позначимо події: В₁ – з першої шухляди вийнята біла куля, В₂ – з другої шухляди вийнята біла куля, – з першої шухляди вийнята не біла (чорна) куля, – з другої шухляди вийнята чорна куля. Скласти повну групу подій для визначеного випробовування, описуючи їх через елементарні події В₁, В₂.

4. Привести приклад випробовування і кількох подій до нього. Прокоментувати події, що є сумою, добутком, різницею приведених подій.

Варіант 6

1. Два студенти в книжковому магазині шукають потрібну книгу. Позначимо події: А ={книгу знайшов перший студент} В ={книгу знайшов другий студент}. Перевірити, чи утворюють повну групу такі події.

2. На полиці стоять підручники з математики, фізики та хімії. Випробовування – вибір 2-х підручників навмання. Позначимо події: М, Ф, Х– вибраний підручник відповідно з математики, фізики чи хімії. .Виразити через М, Ф, Хтакі події: E= {вибрані підручники з різних дисциплін}, F={вибрані підручники з однакових дисциплін }, G={серед вибраних підручників є хоч один з хімії }.

3. Підкидають двічі гральний кубик. Нехай А_і = {випаде і очок при першому підкиданні} В_і = {випаде і очок при другому підкиданні } Виразити через А_і і В_і такі події:

А = {обидва рази випаде не парна кількість очок},

В = {сума очок при двох підкиданнях дорівнює 10},

С = { сума очок при двох підкиданнях менше 4},

D = {обидва рази випаде однакова кількість очок}.

4. Привести приклад випробовування і кількох подій до нього. Прокоментувати події, що є сумою, добутком, різницею приведених подій.

Критерії оцінювання:

1-4бали – конспект приведених прикладів;

Кожен розв’язаний приклад – 2 бали.

Максимальна кількість балів – 12.

Поиск по сайту: