Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Моменти інерції за повороту осей. Головні осі та головні моменти інерції

ТЕМА 4 (лекції 8,9)

ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ ПЕРЕРІЗІВ

 

Статичні моменти та моменти інерції плоских фігур

, . (4.1)

:

, , (4.2)

де , – координати центра ваги фігури.

Осьові моменти інерції:

, . (4.3)

Подібно, як і у випадку статичних моментів, вирази (4.3) можна записати і в іншому вигляді:

, , (4.4)

де , – середні значення ординат до відповідних осей, які ще називають радіусами інерції перерізу.

. (4.5)

Відцентровим моментом інерції

. (4.6)

Відношення осьових моментів інерції до величин, що виражають найбільшу відстань граничної точки перерізу до відповідної осі називаються осьовими моментами опору плоскої фігури:

. (4.7)

Тут , – відповідно моменти опору фігури відносно осей і ; , – відстань від осей до найвіддаленіших точок фігури.

Полярним моментом опоруплоскої фігури називається величина

, (4.8)

де – відстань від початку координат до найвіддаленішої точки фігури.

 

Моменти інерції та моменти опору деяких простих фігур

Прямокутник, квадрат.Знайдемо момент інерції прямокутника з основною і висотою відносно осей і , що проходять через центр прямокутника (рис. 4.2).

 

Рис. 4.2

 

Для визначення величини скористаємося формулами (4.3). Двома нескінченно близькими одна до одної прямими виріжемо елементарну смужку з основою і висотою , що знаходиться на відстані від осі . Її площа рівна

і, очевидно,

. (4.9)

Так само отримаємо

. (4.10)

Моменти опору будуть, відповідно:

(4.11)

Для квадрата із стороною отримаємо:

(4.12)

Круг. Кругове кільце. Розглянемо круг діаметром (рис. 4.2, б). Двома концентричними колами з радіусами і , виріжемо елементарну площинку з площею

.

Полярний момент інерції круга

. (4.13)

Для визначення осьових моментів круга скористаємось рівнозначністю осей і , а також формулою (4.6):

Для визначення моментів опору круга скористаємось формулою

.

Тоді .

 

Рис. 4.3

Для визначення полярного моменту інерції кругового кільця (рис. 4.3) із зовнішнім діаметром та внутрішнім використаємо формулу (4.13) з інтегруванням у межах від до , тобто

. (4.14)

Формули для осьових моментів інерції кільця наступні:

. (4.15)

Відповідні формули для моментів опору кільця знайдемо на основі формул (4.13) – (4.15):

, ;

.

Визначення статичних моментів та осьових моментів інерції складних перерізів, що складаються із простих (коло, прямокутник, трикутник) вимагає більш складніших розрахунків та використання формул паралельного переносу та повороту осей координат фігури. Геометричні характеристики типових перерізів зведені в табл. 4.1.

 

Таблиця 4.1 – значення геометричних характеристик деяких типових перерізів

Форма перерізу Площа перерізу, м2 Момент інерції, м4 Момент опору, м3
 
 

 

4.3. Моменти інерції за паралельного переносу
осей координат

Розглянемо плоску фігуру з площею , віднесену до довільної прямокутної системи координат (рис. 4.3). Нехай точка є центром ваги цього перерізу, а осі і , що проходять через точку , паралельні осям і . Тоді, за означенням (4.3), момент інерції відносно осі буде

. (4.16)

 

в

a) б)

Рис. 4.4

 

Враховуючи, що перший інтеграл рівності (4.16) дорівнює моменту інерції відносно осі , а другий перетворюється в нуль (як статичний момент плоскої фігури відносно центральної осі ), вираз (4.16) набуває наступного вигляду

. (4.17)

Так само можна показати, що

, (4.18)

.

Аналізуючи виведені формули, можна прийти до висновку, що момент інерції плоскої фігури відносно довільної осі завжди буде більшим від момента інерції відносно центральної осі, що паралельна першій.

 

Моменти інерції за повороту осей. Головні осі та головні моменти інерції

Візьмемо довільну плоску фігуру, моменти інерції якої відносно осей координат відомі і записуються у вигляді:

, , . (4.19)

Необхідно знайти величини , , відносно повернутих осей , (рис. 4.3, б). Після повороту осей нові координати елементів площі можна записати:

, , (4.20)

де – кут повороту.

Тоді основний момент буде

Після відповідних перетворень:

(4.21)

Аналогічно, для інших моментів інерції будемо мати:

(4.22)

. (4.23)

Із формул (4.21), (4.22) неважко зауважити, що сума є величиною сталою і дорівнює полярному моменту інерції фігури відносно початку координат.

Аналіз формули (4.23) показує, що зміна відцентрового моменту відбувається в межах від до . Тобто, при певному повороті координатних осей відцентровий момент інерції перетворюється на кут в нуль.

Такі осі координат називаються головними осями інерції. А якщо початок координат співпадає з центром ваги фігури, то такі осі будуть називатися головними центральними осями.

Шляхом диференціювання за змінною виразів (4.21), (4.22) неважко показати, що умовою екстремальності моментів інерції , є рівність нулю відцентрового моменту інерції . Тобто, для знаходження кута прирівняємо вираз (4.23) до нуля. В результаті, отримаємо

. (4.24)

Аналізуючи попередній абзац, можна зробити висновок, що головними, являються ті осі, для яких осьові моменти інерціїприймають найбільшічи найменші значення.

Формули для знаходження головних моментів інерції будуть наступними:

. (4.25)

Виключивши з цих формул величини та , після низки перетворень, отримаємо значення максимального і мінімального моментів інерції:

. (4.26)

Тут величиною позначається більший з двох головних моментів інерції, а величиною – менший. Ураховуючи, що сума осьових моментів інерції відносно двох взаємно перпендикулярних осей перерізу є величиною сталою, можна дійти висновку, що в цьому випадку момент інерції відносно першої головної осі має максимальне значення, а відносно іншої – мінімальне.

Запитання для самоконтролю

1. Які Ви знаєте геометричні характеристики плоских перерізів?

2. Що таке статичний момент плоскої фігури?

3. Яка розмірність осьових моментів інерції?

4. Дайте визначення осьового моменту опору плоскої фігури.

5. Дайте визначення полярного моменту інерції.

6. Які значення може приймати відцентровий момент інерції плоскої фігури?

7. Що таке полярний момент опору плоскої фігури?

8. Запишіть моменти інерції та опору прямокутника.

9. Запишіть полярний момент інерції та полярний момент опору круга.

10. Як знаходиться полярний момент інерції кільця

11. Визначення осьових моментів інерції за паралельного переносу осей.

12. Що є інваріантом в залежностях між осьовими моментами інерції?

13. Які осі координат називаються головними центральними осями?

14. Які осьові моменти інерції називаються головними?

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.