Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Дискретная случайная величина



Уфа 2010


УДК 51

ББК 22.14

М 54

 

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № 2 от 24 февраля 2010 года)

 

Составители: доцент Костенко Н.А., доцент Чередникова Л.Ю., доцент Авзалова З.Т.

 

Рецензент: доцент кафедры бухгалтерского учета и аудита Насырова А.Д.

 

Ответственный за выпуск: зав каф. математики доцент Лукманов Р.Л.

 

 


Введение

 

До сих пор мы имели дело со случайными событиями. Событие являет­ся качественной характеристикой случайного результата опыта. Случай­ный результат можно охарактеризовать и количественно. Количественной характеристикой случайного результата опыта является случайная вели­чина.

Случайные величины. Функции распределения

Понятие случайной величины - одно из основных в теории вероятностей. Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное, изависящее от случайных причин.

Функцией распределения случайной величины X называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что X примет значение, меньше x, т.е.

 

F(x) = Р( X < х ).

 

Функция распределения случайной величины обладает следующими свойствами:

1) Функция распределения принимает значений из промежутка [0;l]:

 

О ≤ F(x) 1.

 

2)Функция распределения есть неубывающая функция:

 

F( )≥ F( ), если > .

 

3) Вероятность того, что случайная величина X примет значение из промежутка [a;b), равна разности значений функции распределения в точ­ках a и b:

F(a ≤ X<b)=F(b)-F(a).

 

4) Р(Х ≥ x) =1 - F(x).

5)Если х → + ∞, то F(x) → 1.

6) Если х → - ∞, то F(x)→ 0.

Дискретная случайная величина

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероят­ностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между всеми возможными значениями x1., x2, x3,… случайной величины X и их вероятностями p1, p2, p3,… (pi=P(X=xi)), причем p1+p2+p3+…=1. Закон распределения задается таблично, аналитичес­ки или графически. При табличном задании закона распределения первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины X, а вторая - их вероятности:

 

X x1 x2 x3
p p1 p2 p3

 

Для наглядности закона распределения дискретной случайной величины изображают графически, длячего в прямоугольной системе коорди­нат строят точки (xi,pi)исоединяют их последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины X .

2.1 Задача. В урне 7 шаров, из которых 4 белых, а остальные черные. Из урны наудачу извлекаются 3 шара; Х - число извлеченных белых шаров. Найдите закон распределения дискретной случайной величины ипостройте многоугольник и функцию распределения.

Решение. Возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятностиp0, p1, p2, p3 подсчитываем классическим способом:

 

;

;

 

Закон распределения X

 

X
p 1/35 12/35 18/35 4/35

 

Проверка: 1/35+12/35+18/35+4/35=1. Многоугольник распределения изображен на рисунке 1.

Найдем функцию распределения F(x).

Если x 0, то F(x)=P(X<x)=0

Если 0<x 1, то F(x)= p0=1/35

Если 1<x 2, то F(x)= p0+ p1=1/35+12/35=13/35

Если 2<x 3, то F(x)= p0+ p1+ p2=31/35

Если x>3, то F(x)= p0+ p1+ p2+ p3=1

Таким образом,

 

F(x)=

 

Функция распределения изображена на рисунке 2

 

 

 

Числовыми характеристиками дискретной случайной величины служат математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Математиеским ожиданием M[X] дискретной случайной величины X называют симму произведений всех ее возможных значений xi на их вероятности

M[X]= xi pi (1)

 

Свойства математического ожидания:

1) если с – постоянная, то M[c]=c;

2) M[c X]=c M[X];

3) если X и Y – независимы, то M[X Y]=M[X] M[Y];

4) M[X+Y]=M[X]+M[Y].

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

 

D[X]=M[(X-M[X]) ]. (2)

 

Дисперсию можно вычислять по формуле

 

D[X] =M[X ]-M[X] . (2’)

 

Свойства дисперсии:

1) Если c – постоянная, то D[c]=0;

2) D[cX]=c D[X];

3) если X и Y – независимы, то D[X+Y]=D[X]+D[Y]

Дисперсия характеризует меру рассеяния значений случайной величины вокруг математического ожидания .

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется квадратный корень из дисперсии

 

σ[X]= (3)

 

2.2 Задача. Три стрелка независимо друг от друга 1 раз стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка в цель равна 0,7, второго – 0,8, третьего – 0,9. Найти математическое ожидание Z числа попаданий в цель.

Решение. Пусть Xi– число попаданий в цель для i – го стрелка (i =1,2,3), очевидно

 

Xi

 

Z=X1+X2+X3, M[Z]=M[X1+X2+X3]=M[X1]+M[X2]+M[X3]

X1
p 0,3 0,7

 

 

X2
p 0,2 0,8

 

X3
p 0,1 0,9

 

M[X1]=0,7; M[X2]=0,8; M[X3]=0,9

M[Z]= M[X1+ X2+ X3]=0,7+0,8+0,9=2,4.

Решите задачи самостоятельно:

2.3 Найдите математическое ожидание, дисперсию и построить функцию распределения дискретной случайной величины, заданной законом распределения

 

X -2
p 0,1 0,4 0,3 0,2

 

(3,1; 13,89)

2.4 Случайная величина X может принимать 4 возможных значения: =1, =3, =4, =6. Вероятности появления первых трех воз­можных значений равны = 0,1, = 0,4, =0,2. Написать закон распределения случайной величины X.

2.5 Дискретная случайная величина X принимает три возможных зна­чения: =2 с вероятностью = 0,3, = 4 с вероятностью =0,4 и значение с вероятностью . Найти и , зная, что M[X]=5. (9,33; 0,3).

2.6 Одновременно бросают три игральные кости. Найди математичес­кое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно 2 шестерки, если общее число бросаний равно 15. (≈ 1,042)

2.7 Найти математическое ожидание М[X] и дисперсию D[X]числа X лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 100 билетов, а вероятность выигрыша на каждый билет равна 0.05. (5; 4,75)

2.8 Найти дисперсию дискретной случайной величины X-числа отказов элементов некоторого устройства в 20 независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0.3. (4.2)

2.9 Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения и , причем | > | |. Вероятность того, что X примет значение равна 0,3. Написать закон распределения величины X, если известно, что М[Х] = 3,4; D[X]= 0,84.

2.10 В партии из 5 деталей имеется 3 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали, Составить закон распределений дискретной случайной величи­ны X - числа стандартных деталей среди отобранных.

2.11 Чемуравно математическое ожидание суммы числа очков, кото­рые могут выпасть при одном бросании трех игральных костей? (21/2).

2.12 Дискретная случайная величина X - число мальчиков в семьях с 5 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) найдите закон распределения Х; б) постройте многоугольник распределения; в) найдите вероятности событий; А - в семье не менее 2, но не более 3 мальчиков; В - не более 3 мальчиков; С - более одного мальчика. (5/8; 13/16; 13/16 ) .

2.13 С вероятностью попадания при одном выстреле 0,7 охотник стре­ляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выст­релов, Дискретная случайная величина X - числопромахов, в) Найди­те закон распределения X. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите вероятности событий: X< 2; X ≤ 3; 1 < X ≤ 3. (0,91; 0,9919; 0,0819)

2.14 В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 - красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. а) Найдите закон рас­пределения случайной величины X, равной числу красных карандашей в выборке. б) Постройте многоугольник распределения. в) Найдите веро­ятность события: 0 < X ≤ 2. (6/7)

2.15 Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на "отлично", наугад извлекают 3 работы. Найдите закон распределения, математичес­кое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу оцененных на "отлично" работ среди извлеченных. Чему равна вероятность события X > 0?(0,6; 0,44; 58/115)

2.16 Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу проб при открывании замка, ес­ли испробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. (3;2)

2.17 В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найдите закон распределения, математическое ожидание к дисперсии случайной величины X, равной числу стандартных деталей в выборке. (1,6; 0,2855)

2.18 Бросается игральная кость до первого выпадения шестерки. Слу­чайная величина X равна количеству бросаний кости. Найдите закон рас­пределения случайной величины X и вероятность события X ≤ 5. (0,335)

2.19 На пути движения автомобиля 6 светофоров, каждый из них или разрешает, ил» запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случай­ной величины X, равной числу светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. (0,656; 1,788)

2.20 Вероятность изготовления нестандартной детали 0,1. Изпартии контролер берет деталь и проверяет ее на стандартность, Если деталь оказывается нестандартной, то дальнейшие испытания прекращаются, а партия вся задерживается. Если же деталь окажется стандартной, то контролер берет следующую и т.д., но всего он проверяет не более 5 де­талей. Найдите закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, равной числу проверяемых стандартных деталей. (4,095; 1,9889)

2.21 Производятся последовательные испытания 5 приборов на надеж­ность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Найдите закон распределения и функцию распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого прибора равна 0.9,

2;22 Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: х1 = 1, x2 = 2, х3 = 3, а также известны М[Х] = 2,3, M[X2] = 5.9. Найдите закон распределения величины X.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.