Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Сведения из теории вероятностей



 

В случае, когда результат одного и того же эксперимента может меняться от одного наблюдения к другому непредсказуемым образом о результатах измерений говорят как о случайных величинах. По своей природе многие величины в классической физике являются вполне определенными. Однако из-за влияния случайных факторов в процессе эксперимента результаты измерений – случайные величины. Однако имеются и такие величины, которые случайны по своей природе. Например, число броуновских частиц в поле зрения микроскопа, радиоактивный распад элементов.

Предсказать. Сколько броуновских частиц можно увидеть в поле зрения при очередном наблюдении невозможно. Но если проделать достаточно большое количество наблюдений n, а затем спросить сколько раз в поле зрения будет наблюдаться, например А частиц, то можно предсказать вероятность этого события. Пусть А частиц наблюдается m раз. Величину называют частотой события, состоящего в наблюдении А частиц. Для каждого события можно указать такое число P , называемое вероятностью этого события, что при длительном повторении одного и того же эксперимента частота рассматриваемого события окажется приблизительно равной P.

Если событие А не может произойти ни при каких условиях, то оно называется невозможным и его вероятность равна нулю: P(A) = 0.

Если событие обязательно произойдет, то оно называется достоверным и его вероятность принимается равной единице.

Вероятность P любого события лежит в интервале [0;1]

Рассмотрим, как можно оценить вероятность появления события (событие - любой мыслимый результат эксперимента) из результатов многократно повторённого эксперимента. Ясно, что вследствие случайных ошибок (предполагается, что все систематические ошибки, как постоянные, так и переменные, устранены или пренебрежимо малы) результаты повторных наблюдений будут различаться между собой. Пусть проведено N наблюдений и получено п различных результатов. Естественно, что среди всех результатов наблюдений будут и повторяющиеся. Предположим, что N1 раз повторился результат x1, N2 раз - x2, ..., Nn раз - хп. Величина Ni называется абсолютной частотой появления результата xi. Сумма

. (1)

Отношение числа появления i-го результата к общему числу наблюдений называется относительной частотой появления этого результата:

. (2)

Как показывает опыт, при большом числе наблюдений выражение (2) стремится к определённому пределу, который называется вероятностью осуществления события:

. (3)

Если событие А не может произойти ни при каких условиях, то оно называется невозможным и его вероятность равна нулю: P(A)=0. Если событие обязательно произойдет, то оно называется достоверным и его вероятность принимается равной единице. Вероятность Р любого события лежит в интервале [0; 1].

Из (1) следует, что

. (4)

Это соотношение (условие нормировки) отражает вероятность достоверного события, т. е. вероятность получения любого результата при измерении.

Для нахождения среднего значениядискретной случайной величины по вероятности появления различных результатов наблюдений используют формулу (5)

. (5)

Если возможные значения случайной величины могут быть любыми на некотором интервале, говорят о непрерывной случайной величине. Поскольку значений величины х бесконечно много, то вероятность конкретного значения равна нулю, но можно говорить о вероятности попадания результата наблюдения в некоторый интервал. Разобьём всю область значений величины х на одинаковые интервалы шириной каждый. Найдём число наблюдений DNi, попадающих в каждый i-й интервал, их относительную частоту появления DNi/N. Результаты представим графически (рис. 1.1). По оси абсцисс отложим значение величины х, а относительную частоту DNi/N представим высотой полоски, построенной на интервале Dxi как на основании. Всю совокупность полученных прямоугольных полосок ограничим сверху ломаной ступенчатой линией. Эта линия (она называется гистограммой) и характеризует распределение результатов данной серии наблюдений.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

При большом числе наблюдений на гистограмме проявляются основные статистические закономерности:

  1. полученные в наблюдениях значения измеряемой величины симметрично распределяются около некоторого среднего значения <x>;
  2. большие отклонения от среднего встречаются реже, чем малые.

Если число наблюдений мало (рис. 1.2), то построить гистограмму трудно или вовсе невозможно. Среднее значение <x> при этом может быть далёким от истинного xист.

Если же увеличивать число наблюдений N и одновременно уменьшать ширину интервала , то в пределе при Dх®0 и N®¥ ступенчатая линия превратится в плавную кривую (см. рис. 1.1). Эта кривая характеризует истинное распределение результатов измерений, которое можно получить данным методом при бесконечно большом числе наблюдений.

 

Рис. 1.3 Рис. 1.4

Если при построении гистограммы по оси ординат откладывать частоту появления результата, отнесённую к единичному интервалу, т. е. плотность частоты DNi/(NDx), то получающаяся в пределе кривая (рис. 1.3) будет характеризовать распределение плотности вероятности получения результата хизм. Ордината этой кривой — плотность вероятности

, (6)

где — вероятность того, что результат наблюдения xизм окажется в пределах от х до x+dx (см. рис. 1.3). Площадь под кривой f(x) имеет смысл вероятности получения хоть какого-нибудь результата измерения. Поэтому она равна единице:

. (7)

 

Здесь интегрирование проводится по всему интервалу возможных значений величины х. Формула (7) - аналог формулы (4). Она является условием нормировки для непрерывной случайной величины.

Таким образом, со случайной величиной ζ связана некоторая функция f(x), называемая функцией плотности вероятности (или функцией плотности), такая, что величина f(x)dx пропорциональна вероятности события, состоящего в том, что величина ζ заключена в интервал x ¸(x+dx).

Вероятность того, что измеренное значение будет лежать в интервале [x1; x2], равна

. (8)

Среднее значение измеряемой величины вычисляется по формуле, аналогичной (5):

. (9)

 

Для случайной величины ζ вводят также функцию F(x); которая называется функцией распределения:

.

Функция распределения в данной точке x равна вероятности того, что случайная величина меньше x. График этой функции – монотонная кривая, возрастающая от 0 до 1. Функцию распределения можно характеризовать параметром, показывающим насколько широко разбросаны значения случайной величины относительно «центра» распределения. Мерой. Характеризующей рассеяние случайной величины (расброс), является дисперсия D(x), которая определяется согласно формуле:

.

Здесь M(x), математическое ожидание, которое определяется по формуле:

.

В случае дискретной случайной величины ζ

(№)

(Piвероятность значения xi, m - результат вычислений суммы).

Формулу (№) можно переписать в виде

.

Квадратный корень дисперсии, т.е. величины s называется среднеквадратичным отклонением.

В пределе при среднее значение . Поэтому ели перенести начало координат в точку , то пот оси абсцисс вместо x в том же масштабе будет отложена ошибка dx, а по оси ординат – плотность вероятности f(dx) получения ошибки dx.

Кривая распределения характеризует точность эксперимента. Чем острее и выше пик кривой (рис. 1.4), тем меньше ошибки (выше точность). Пологая кривая отражает наличие больших случайных ошибок.

Покажем теперь, что среднее значение равно истинному . Истинная абсолютная ошибка dx является случайной величиной, характеризующейся некоторым распределением плотности вероятности f(dx) . Распределение ошибок dx подчиняется следующим закономерностям.

1. При большом числе наблюдений одинаковые по величине, но противоположные по знаку случайные ошибки встречаются одинаково часто. Математически это значит, что f(dx) = f(-dx).

2. Большие по абсолютной величине ошибки встречаются реже, чем малые, т.е. , если .

Одним из часто встречающихся на практике распределений, обладающих такими свойствами, является распределение

(11)

Счетчик Гейгера-Мюллера в радиометре РКСБ-104 является источником статистически независимых электрических сигналов. Поэтому регистрируемое прибором за определенное время количество гамма-квантов фонового радиоактивного излучения не постоянно, а изменяется статистически независимым образом от опыта к опыту. Ошибки определения частоты n вызываются непостоянством во времени следования импульсов и носят случайный характер.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.