Три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, Оz, які мають спільний початок точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову систему координат у просторі. Якщо таких осей дві: Ох і Оу, то маємо систему координат на площині.
Рис. 1
Рис. 2.
Осі Ох, Оу, Оz називаються відповідно осями абсцис, ординат і аплікат, точка О — початок системи координат. Нехай М — довільна точка в просторі або на площині. Декартовими координатами x, y, z точки М називатимемо відповідно довжини ОА, ОВ, ОС напрямлених відрізків
Таким чином, кожній точці простору відповідає впорядкована трійка чисел (x, y, z), а на площині — впорядкована пара чисел (x, y), тобто встановлюється відповідність між геометричним образом — точкою і впорядкованою множиною чисел. Ця відповідність дає можливість використовувати рівняння для відображення геометричних образів, таких як лінія, площина тощо, та застосовувати алгебраїчні методи для розв’язування геометричних задач.
Полярна система координат складається з деякої точки площини О, яка називається полюсом, променя ОА, що виходить з цієї точки і називається полярною віссю. Крім того, задається одиниця масштабу для вимірювання довжин відрізків.
Рис. 3
Рис. 4
Полярними координатами точки М називаються числа r — відстань від полюса О до точки М і j — кут, на який треба повернути полярну вісь ОА до її збігу з ОМ, проти годинникової стрілки.
Полярний радіус може змінюватись у межах < ∞, полярний кут, як правило, змінюється в межах < .
Зв’язок між полярними і декартовими координатами точки (рис. 4) встановлюють формули:
(1.1)
Приклад. Знайти полярні координати точки М (2, 2).
З формули (2.1) маємо , tgj = 1. Згідно з останньою рівністю , або , але у = 2 > 0 і х = 2 > 0, маємо . У полярних координатах точка
Розглянемо такі перетворення систем координат:
1) паралельний зсув осей, коли змінюється положення початку системи координат, а напрям осей залишається таким самим;
2) поворот осей, коли обидві осі повертаються на деякий кут відносно початку системи координат.
Рис. 5
Рис. 6
1. Нехай точка М у старій системі координат Оху має координати (х, у), а в новій системі координат — . Знайдемо зв’язок між ними. З рис. 2.5 бачимо, що
, (1.2)
де (х0, у0) — декартові координати початку нової системи координат (точка О´) у старій системі координат. Розв’язуючи рівняння (1.2) відносно і , маємо .
2. Повернемо тепер стару систему координат Оху відносно точки О на кут a і дістанемо нову систему Ох¢y¢ (рис. 6).
Розглянемо також дві полярні системи координат з полюсом у точці О і полярними осями Ох і Ох¢. Тоді згідно з рис. 6 маємо
.
Крім того, g = a + b, підставляючи це значення gу формули, остаточно будемо мати:
(1.3)
Розв’язуючи рівності (1.3) відносно дістаємо:
= х cosa + y sina, = – х sina + y cosa.
Здобуті формули відбивають зв’язок між старими (x, y) і новими координатами точки.
Вектори, лінійні операції над векторами
Означення. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо . Якщо, скажімо, точка А — початок вектора, а точка В — його кінець, то маємо .
Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.
Вектор вважається заданим, коли відома його довжина , і напрям щодо деякої осі.
Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.
Вектори і вважаються рівними, коли вони:
1) колінеарні;
2) однаково напрямлені;
3) їхні довжини рівні.
З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній геометрії називають вільними.
Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор . Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l (рис. 2.7). Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно і .
Рис. 7
Означення. Проекцією векторана вісь l називається довжина напрямленого відрізка на осі l. Слід зазначити, що , якщо напрям збігається з напрямом l і , якщо напрям протилежний напряму l.
Позначається проекція вектора на вісь l — прl . З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:
прl = ,
де — кут між вектором і віссю.
Якщо розглянути прямокутну декартову систему координат і точки початку А (х1, у1, z1) і кінця В (х2, у2, z2) вектора , то проекції вектора на кожну з осей мають вигляд:
Якщо позначити a, b, g — кути між вектором і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за формулами:
. (1.5)
У подальшому називатимемо їх напрямними косинусами вектора . Піднісши кожну з формул (1.5) до квадрата і скориставшись (1.4), дістанемо:
cos2a + cos2b + cos2g = 1.
Дії з векторами виконуються за правилами:
1. Додавання:
= (ах + bх, ау + bу, аz + bz).
2. Множення вектора на число a Î R:
.
Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь:
Теорема. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також множиться на це число:
Нехай вектори такі, що за напрямом збігаються відповідно з осями Ох, Оу, Оz і . Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи координат. Тоді
(1.6)
3. Скалярний, векторний, мішаний добуток векторів
Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.
Отже:
,
де j — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:
.
Властивості скалярного добутку:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. якщо і навпаки, якщо .
Нехай вектори і задано за допомогою (1.6), тоді, використовуючи властивості скалярного добутку, умови маємо:
(1.7)
Отже,
З рівності (1.7) випливає, що:
1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і є ах bх + ау bу + аz bz = 0.
2. Кут між двома векторами і можна знайти за формулою:
.
Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , якщо:
1) довжина вектора , де j — кут між двома векторами;
2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і
Рис. 8
3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.
Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.
Властивості векторного добутку:
1. , якщо і — колінеарні вектори.
2. .
3. .
4. .
Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:
Знайдемо координати вектора , якщо , .
(1.8)
або
.
Рис. 9
Означення. Мішаним добутком векторів називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто .
Розглянемо геометричний зміст мішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 2.9).
Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 9). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:
. (1.9)
З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (1.9) маємо умову компланарності трьох векторів .
.
Враховуючи формули (1.7) і (1.8) знаходження скалярного і векторного добутків, маємо: