Властивості функції Лапласа

План

1. Локальна теорема Лапласа.

2. Інтегральна теорема Лапласа.

3. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій.

Локальна теорема Лапласа.

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:

, (1)

де ℮ називається функцією Гаусса. Функція Гаусса протабульована, і її значення наведено в таблиці, де

. (2)

Тут x є рівномірно обмеженою величиною відносно n і m.

Властивості функції Гаусса:

1) визначена на всій осі абсцис; ;

2) є функцією парною: ;

3) ;

4) ; ;

; ; отже, — максимум функції Гаусса;

5) .

Таким чином, х₁ = –1, х₂ = 1 будуть точками перегину. При цьому

; ; .

Графік функції Гаусса зображено на рис. 1.

Рис. 1

Зауважимо, що розв’язуючи задачі, додержують такого правила:

; .

Отже, практично використовуються значення функції Гаусса для , що показано на графіку функції Гаусса (рис. 2).

Рис. 2

Приклад. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;

2) 300 шт.;

3) 320 шт.

Розв’язання. За умовою задачі маємо:

n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.

1) ; ;

;

;

2) ;

;

3) ;

.

Приклад. Імовірність того, що посіяне зерно ячменю проросте в лабораторних умовах, у середньому дорівнює 0,9. Було посіяно 700 зернин ячменю в лабораторних умовах. Визначити найімовірніше число зернин, що проростуть із цієї кількості зернин, та обчислити ймовірність цього числа.

Розв’язання. За умовою задачі:

Отже, шукане число m₀ = 630.

Відповідна ймовірність буде така:

;

;

;

.

Інтегральна теорема Лапласа.

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалеж­них експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n імовірність появи випадкової події від m_і до m_j раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:

, (3)

де ,

а є функцією Лапласа, значення якої наведено в таблиці.

Властивості функції Лапласа

1. Ф(x) визначена на всій осі абсцис.

2. Ф(–x) = – Ф(x), отже, Ф(x) є непарною функцією.

3. Ф(0) = 0.

4. , оскільки є інтегралом Пуассона.

5. Ф(– , як непарна функція.

6. , отже, Ф(х) є функцією неспадною.

7. Ф"(0) = 0;

Таким чином, x = 0 є точкою перегину.

Графік функції Ф(х) зображено на рис. 17

Рис. 3 Рис. 4

Розв’язуючи задачі, додержують такого правила:

, .

Отже, практично функція Лапласа застосовується для значень , що ілюструє рис. 4.

Приклад. Верстат-автомат виготовляє однотипні деталі. Імовірність того, що виготовлена одна деталь виявиться стандартною, є величиною сталою і дорівнює 0,95. За зміну верстатом було виготовлено 800 деталей. Яка ймовірність того, що стандартних деталей серед них буде: 1) від 720 до 780 шт.; 2) від 740 до 790 шт.?

Розв’язання. За умовою задачі:

; ; ; ; ;

.

1) ;

;

2) ;

;

Приклад. В електромережу ввімкнено незалежно одну від одної 500 електролампочок, які освітлюють у вечірній час виробничий цех заводу. Імовірність того, що електролампочка в електромережі не перегорить, є величиною сталою і дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що з 500 електролампочок не перегорить:

1) не більш як 380 шт.;

2) не менш як 390 шт.

Розв’язання. За умовою задачі:

; ; ; ; ;

1)

;

2) ;

;

Поиск по сайту: