Числовые характеристики служат для краткого описания ДСВ и делятся на две группы: характеристики положения и характеристики разброса. К первым относятся математическое ожидание, мода и медиана случайной величины. Дадим их определения:
Математическое ожидание представляет собой средневзвешенное всех значений Х (“весами” служат вероятности отдельных значений) и характеризует порядок величины (десятые, сотые, целые числа, десятки, сотни и т. д.).
.
Для разобранного в данном разделе примера
.
2) Модой случайной величины называется ее значение, имеющее наибольшую вероятность. В нашем примере = 2.
3) Медианой случайной величины называется такое ее значение, для которого выполняется следующее условие: .
Медиана — такое значение случайной величины, для которого функция распределения равна 0. 5.
Рассмотрим теперь характеристики разброса. Необходимость их введения можно пояснить на примере.
Пусть заданы две случайные величины и .
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
– 10
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
По данным из таблицы найдем математическое ожидание
,
.
Видно, что при одной и той же величине математического ожидания, отдельные значения отличаются от гораздо меньше, чем отдельные значения от . Числовые характеристики, определения которых сейчас будут даны, учитывают эту разницу в поведении случайных величин.
1) Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения Х от своего математического ожидания. Для ДСВ дисперсия вычисляется по формуле:
.
Преобразование этой формулы позволяет привести ее к более удобному виду:
Используя аналогию с можно обозначить .
Тогда .
Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания.
Вычислим значение дисперсии для случайной величины Х, рассмотренной в примере. По первой формуле:
.
По второй формуле:
.
Следует помнить, что, по своему определению, дисперсия — величина неотрицательная, т. е. .
2) Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:
.
Характеристика вводится, чтобы иметь возможность указать разброс в той же размерности, что и сама случайная величина (т. к. дисперсия имеет размерность квадрата Х).
Для нашего примера » 0. 81.
Среднеквадратическое отклонение имеет смысл абсолютной погрешности при замене Х ее математическим ожиданием.
3) Вариацией случайной величины Х называется отношение .