Четыре способа вычисления вероятности

В следующей таблице кратко описаны четыре типа задач на вычисление вероятности и соответствующие способы решения. Значения z, z₁ и z₂ — это нормированные значения из постановок задач, полученные путем вычитания среднего из представляющих интерес значений и последующего деления полученного результата на стандартное отклонение. Таблица, о которой идет речь, — это таблица вероятностей для стандартного нормального распределения.

Могут возникнуть некоторые сомнения относительно того, существует ли различие между событиями “объем продаж превышает $22 000 000” и “объем продаж на уровне не менее $22 000 000”. Условие превышает означает более чем, в то время как не менее означает больше или равно. В случае нормального распределения вероятности таких двух событий практически не отличаются. Это связано с тем, что различие между двумя такими вероятностями представляется только вертикальным отрезком линии, который не ограничивает никакой площади под кривой нормального распределения.

Внимание! Не все распределено нормально!

В случае нормального распределения; если известны среднее значение и нормальное отклонение, значения вероятностей можно найти, проведя нормировку и воспользовавшись затем таблицей вероятностей для стандартного нормального распределения. Однако в том случае, если распределение только приблизительно нормально, полученный результат будет тоже только приблизительно правильным.

Если же распределение очень сильно отличается от нормального, вероятности, вычисленные на основе среднего и стандартного отклонения, с использованием таблиц для нормального распределения могут совершенно не соответствовать действительности.

Пример. Лотерея (или рискованный проект)

Рассмотрим лотерею (или, если вам больше нравится, рискованный проект), в которой в 90% случаев не выплачивается ничего, но в остальных 10% случаев выплата составляет $500. Ожидаемая (средняя) выплата составляет $50, а стандартное отклонение для такой дискретной случайной переменной составляет $ 150. Обратите внимание на то, что выплаты не распределены нормально; отсутствует даже отдаленное сходство с нормальным распределением, поскольку возможные значения выплаты дискретны и могут принимать только одно из двух значений.

Чему равна вероятность выигрыша по меньшей мере $50? Правильный ответ — 10%, поскольку единственный способ что-либо выиграть состоит в том, чтобы выиграть полную сумму, $500, которая и содержит «по меньшей мере $50».

Попробуем рассмотреть нормальное распределение с такими же значениями среднего ($50) и стандартного отклонения ($150}. Насколько далеким от правильного ответа (10%) окажется оценка вероятности выигрыша, если исходить из свойств нормального распределения? Отличие будет очень большим, поскольку вероятность того, что следующая нормальному распределению случайная величина примет значение, превышающее среднее, равна 0,5, или 50%.

Это действительно существенное различие: 10% (правильный ответ) и 50% (результат вычислений при неверном предположении, что случайная величина имеет нормальное распределение).

На рис 7.3.11 показано различие между реальным дискретным распределением и нормальным распределением с таким же средним значением и стандартным отклонением. Выдвигая предположение о том, что величина имеет нормальное распределение, нужно всегда быть очень осторожным.

Поиск по сайту: