Лінійне поліноміальне згладжування

Розрахунково-графічна робота

З дисципліни „Системи обробки сигналів і зображень”

Варіант 18

Перевірив: Виконав:

Ігнатенко В.М. ст. гр. ІК-02

Маленко М.В.

Київ – 2012

План

I. Завдання

II. Короткі теоретичні відомості

III. Розрахунок

І. Завдання

1 Дискретизовний сигнал заданий своїми значеннями у наступній таблиці:

		0.25	0.5	0.75		1.25	1.5	1.75
	-0.25	0.1	0.8	0.6	1.1	0.75	0.4	0.2

Провести однократне згладжування даних ковзаючим лінійним поліномом по трьом і п’яти точках. Вирахувати значення різниць (відхилень) між значеннями вихідних і згладжених даних, знайти максимальне по модулю значення різниці та суму квадратів відхилень між вихідними та згладженими даними. Подати усі вихідні дані та результати обчислювань у відповідній табличній та графічній формі.

2 Дискретизовний періодичний сигнал заданий своїми значеннями у наступній таблиці:

		0,1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
	-0.3	0.79	1.67	1.67	0.79	-0.3	-0.97	-1.18	-1.18	-0.97

Знайти розкладання цього сигналу в ряд Фур’є, визначивши усі ненульові гармоніки. Результати розрахунків подати в аналітичному (формульному) і табличному вигляді, включаючи частоти гармонік і відповідних їм коефіцієнтів Фур’є-функції.

ІІ. Короткі теоретичні відомості

Лінійне поліноміальне згладжування.

Метод ковзаючого середнього має один суттєвий недолік – зростаюча втрата даних при збільшені числа проходів згладжування. Цей недолік можна усунути якщо замість полінома нулевої степені використати поліном першої степені , який має вже два шуканих коефіцієнта та ; тобто він подається у такому вигляді і задає пряму лінію. Знову ж таки вибираємо дял побудови цього поліному мінімально можливу кількість даних з вихідного масиву - три, записуючи квадратичну міру близькості і поліном у такому вигляді:

(2.2.7)

Оптимальні значення шуканих коефіцієнтів на -тому кроці згладжування знаходиться із умови екстремуму (мінімуму) міри близькості (2.2.7), тобто:

(2.2.8)

що дає після перетворення таку систему алгебраїчних рівнянь:

(2.2.9)

Припускаючи, що дискрети рівновіддалені одна від одної з інтервалом , маємо:

а в системі рівнянь (2.2.9) отримуємо такі коефіцієнти:

В результаті система рівнянь (2.2.9) перетворюється в таку:

(2.2.10)

що дає наступний розв’язок:

(2.2.11)

Оскільки значення згладжених даних тепер розраховуються по поліному у точці , то і у виразі

(2.2.12)

зникає різниця і тому залишається тільки , тобто необхідно використати тільки коефіцієнт , , а значить і вирахувати тільки наступне:

(2.2.13)

Якщо поставити за мету не втрачати по два значення – одне на початку, а друге – в кінці масиву даних, то потрібно скористатися повним виразом для поліному з коефіцієнтами при і , а також і відповідно, що дає:

(2.2.14)

Підставивши (2.2.11) в (2.2.14) отримуємо таке:

(2.2.15)

Виходячи з аналогічних тверджень при зглажуванні по п’яти точкам можна використати наступні формули:

(2.2.24)

Ряд Фур’є

Кожна періодична функція може бути подана за допомогою ряду з тригонометричними функціями, тобто

(1.3.1)

де - періодична функція, що визначена на відрізку ;

- чисельні коефіцієнти, - початкова фаза,

- інтервал визначення періодичної функції .

Тобто періодична функція подається сумою доданків косинусного типу, кожен із яких є гармонічним коливанням х амплітудою , частотою і початковою фазою . Для точного відтворення функції значення і повинні бути підібрані так, щоб рівність (1.3.1) виконувалася. Частоти гармонічних коливань, що складають періодичну функцію , створюють гармонічну послідовність, коли частоти усіх складових кратні частоті . Ці окремі складові називаються гармоніками,а коливання з частотою - першою (основною) гармонікою ( ) з частотою - другою гармонікою ( ) і т.д.

Вираз (1.2.1) дуже часто подається в іншій формі, як то:

(1.3.2)

відомий як ряд Фур’є.

де , так що ; ; Коефіцієнти визначаються з наступних формул

(1.3.3)

(1.3.4)

і звуться коефіцієнтами Фур’є функції .

Коефіцієнт зветься постійною складовою і є подвійним середнім значенням функції на заданому інтервалі, обчислюючись по формулі

(1.3.5)

Якщо в (1.3.2) взяти скінченне число членів ряду Фур’є, тобто у вигляді довільного тригонометричного многочлена степені .

(1.3.6)

то якщо у якості коефіцієнтів многочлена взяти відповідні коефіцієнти Фур’є функції згідно з (1.3.3) – (1.3.5), то при кожному досягається мінімум середнє квадратичної похибки

(1.3.7)

Дійсно, якщо в (1.3.7) замість підставити його вираз з (1.3.6) і використати необхідну умову екстремуму функціонала – так званої квадратичної міри близькості функції і тригонометричного многочлена по коефіцієнтам :

(1.3.8)

то отримуємо систему алгебраїчних рівнянь, розв’язком якої і будуть співвідношення (1.3.3) – (1.3.5).

Це є нічим іншим, ніж наближенням (апроксимацією) тригонометричним многочленом неперервної функції , яка задана на відрізку . Звісно із збільшенням числа членів многочлена , що задається виразом (1.3.6), точність апроксимації (наближення) збільшується і при похибка досягає нуля.

Таким чином ряд Фур’є розкладає періодичну неперервну функцію за тригонометричними функціями , які створюють систему ортогональних та нормованих функцій. Це розкладання можна узагальнити і на випадок неперіодичної функції.

ІІІ. Розрахунок

Завдання 1

Згладжування лінійним поліномом по трьох і п’яти точкам.

Вхідні дані:

		0.25	0.5	0.75		1.25	1.5	1.75
	-0.25	0.1	0.8	0.6	1.1	0.75	0.4	0.2

Для згладження по трьом точкам використаємо формули:

Розрахунок:

— 0.3083

Знайдемо відхилень між вхідними і зглаженими даними:

Максимальне відхилення:

Знаходження суми квадратів відхилень:

Для згладження по п’яти точкам використаємо формули:

Розрахунок:

Знайдемо відхилень між вхідними і зглаженими даними:

0.06

Максимальне відхилення:

Знаходження суми квадратів відхилень:

Вхідні дані
		0.25	0.5	0.75		1.25	1.5	1.75
	-0.25	0.1	0.8	0.6	1.1	0.75	0.4	0.2
Зглаження лінійним поліномом по трьох точках
	-0.3083	0.2166	0.5	0.833	0.8166	0.75	0.45	0.175
	0.0583	0.1166	0.3	0.233	0.2834		0.05	0.025
Сума квадратів відхилень 0.245
Зглаження лінійним поліномом по п'яти точках
	-0.17	0.15	0.47	0.67	0.73	0.61	0.46	0.31
Сума квадратів відхилень 0.159

Вхідна:

За трьома точками:

За 5 точками:

Завдання 2

Вхідні данні:

-0.3

0.79

1.67

1.67

0.79

-0.3

-0.97

-1.18

-1.18

-0.97

Для знаходження коефіцієнтів розкладу заданої функції в ряд Фур’є, змінимо формули 1.3.3 і 1.3.4 для дискретизованого сигналу:

…

…

Таблиця коефіцієнтів

	0.1
	0.2		0.794
	0.3	-0.15
	0.4
	0.5
	0.6
	0.7
	0.8
	0.9	-0.15
			-0.794

Таким чином, даний сигнал можна подати у вигляді

Графік

Поиск по сайту: