Ламинарное движение жидкости. Cредняя скорость потока при ламинарном движении

При относительно небольших скоростях жидкость движется параллельными струйками, не смешивающимися друг с другом. Такое движение жидкости называют струйчатым или ламинарным. Струйки обладают различными скоростями: в слое, непосредственно соприкасающемся со стенками, вследствие прилипания скорость равняется нулю и достигает максимального значения в слое, движущемся по оси трубы.

Рассмотрим распределение скоростей и расход жидкости при установившемся ламинарном потоке.

Вследствие действия между слоями сил трения слои будут двигаться с неодинаковыми скоростями. Центральный цилиндрический слой у оси трубы имеет максимальную cкорость, по мере удаления от оси, скорость элементарных кольцевых слоёв будет уменьшаться.

Непосредственно у стенки скорость жидкости равна нулю .

Выделим в потоке жидкости, ламинарно движущейся по трубе с радиусом R, цилиндрический слой l и радиусом r.

Движение слоя происходит под действием сил давления P1 и P2 с обеих торцевых сторон цилиндра: , где P1 и P2 - гидростатическое давление в сечениях 1-1 и 2-2.

Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего трения, согласно закону Ньютона равна.

где Wr – скорость движения жидкости вдоль оси цилиндра на расстоянии r от оси; F = 2prl – наружная поверхность цилиндра;

m - вязкость жидкости.

В соответствии с законами динамики для установившегося движения можно написать уравнение : .

После подстановки и сокращения переменных, получим выражение для

При r = R, W = 0, а при r = 0, Wr = Wmax уравнение

Откуда Wr можно выразить через Wmax:

Уравнение представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении. Согласно этому закону скорость течения жидкости у стенки трубы равна нулю и максимальна по оси трубы.

Средняя скорость равна половине максимальной

Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рассмотрим элементарное кольцевое сечение с внутренним радиусом r и внешним радиусом (r + dr), площадь которого равна dS = 2prdr.

Умножая скорость слоя жидкости на площадь его сечения, получим расход жидкости: dVсек = 2prdrWr, интегрируя выражение найдём расход жидкости для всей площади сечения трубы. Интегрируя от r = 0 до R получим

Подставив вместо Wr его значение из выражения и разделив расход жидкости на площадь сечения трубы найдём среднюю скорость:

Сопоставляя значение Wср со значением Wмакс, находим, что Wср равна половине Wмакс.

Поиск по сайту: