Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция определена параметрически: , . Тогда, если функции x(t) и y(t) имеют производные в точке , причем , а функция имеет производную в точке , то эта производная находится по формуле

или .

Пример 5. Найти для заданной параметрически функции .

Решение.

.

Логарифмическое дифференцирование

Если дана сложная функция, представляющая собой произведение или частное нескольких функций, причем числитель и знаменатель дроби в свою очередь содержат произведения, то следует обе части данного выражения сначала прологарифмировать по основанию у, применить соответствующие свойства логарифмов, а затем приступить к дифференцированию обеих частей. Этот прием носит название логарифмического дифференцирования. Его также используют, если функция содержит корни из дробей. К этому приему прибегают, если имеется показательно-степенная функция или функция вида .

Пример 6. Найти производную функции .

Решение. Логарифмируем обе части равенства по основанию е

.

Применяя свойства логарифмов, получаем

.

Дифференцируем обе части, считая y сложной функцией переменной х:

.

Пример 7.Найти производную функции .

Решение. Логарифмируем обе части по основанию е

.

Используя свойство логарифма, получаем,

.

Дифференцируем обе части, считая y сложной функцией переменной х

.

Замечание. При дифференцировании степенно-показательной функции можно пользоваться формулой

,

если f(x) и j(х) - дифференцируемые функции.

Индивидуальные задания

Задание 1

Вычислить предел функции, числовой последовательности, раскрыв неопределенность типа . Задания взять из таблицы 2.

Таблица 2

№№ nn	Задание	№№ nn	Задание

Продолжение табл.2

Задание 2

Вычислить предел функции, раскрыв неопределенность типа . Задания взять из таблицы 3

Таблица 3

№ nn	Задание	№ nn	Задание

Продолжение табл.3

Задание 3

Вычислить предел функции, используя I замечательный предел и его вариации. Задания взять из таблицы 4.

Таблица 4

№№ nn	Задание	№№ nn	Задание

Продолжение табл.4

Задание 4

Вычислить предел функции, используя II замечательный предел. Задания взять из таблицы 5.

Таблица 5

№nn	Задание	№nn	Задание

Продолжение табл.5

Задание 5

Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции. Задания взять из таблицы 6.

Таблица 6

№№ nn	Задание	№№ nn	Задание

Продолжение табл.6

Продолжение табл.6

Задание 6

Найти производную функции. Задания взять из таблицы 7.

Таблица 7

№nn	Задание	№nn	Задание

Продолжение табл.7

Задание 7

Найти производную функции. Задания взять из таблицы 8.

Таблица 8

№№ nn	Задание	№№ nn	Задание

Продолжение табл.8

			Продолжение табл.8 4

Задание 8

Используя логарифмическое дифференцирование, найти производную функции. Задания взять из таблицы 9.

Таблица 9

№№ nn	Задание	№№ nn	Задание

Продолжение табл.9

Задание 9

Найти производную неявно заданной функции. Задания взять из таблицы 10.

Таблица 10

№№ nn	Задание	№№ nn	Задание

Продолжение табл.10

			⇐ Предыдущая123   Поиск по сайту: