ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ №2

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ №1

«Аналитическая геометрия»

Вариант 0

1. Разложить вектор по векторам и

2. Найти длину вектора , если

.

3. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяю-щий условию .

4. Вычислить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , где единичные взаимноперпендикулярные векторы (косинус угла).

5. Найти направляющие косинусы вектора силы , приложен-ной в точке В(5, 1, 0), и момент этой силы относительно точки А(3, 2, -1).

6. Найти вектор , перпендикулярный векторам и и образующий с осью OX тупой угол, если .

7. Определить, лежат ли точки А(1, 2, 3); В(0, 5, 5); С(3, -1, -1); D(-2, 14, 9) в одной плоскости.

8. В треугольнике АВС известны координаты вершины А(4, 0) и уравнения высоты и медианы . Составить уравнения сторон треугольника.

9. Найти длину высоты пирамиды ABCD, опущенную из вершины D, если D(1, 6, 3), А(4, 5, 2), В(-1, 11, 6) и С(2, -1, 3).

10. Найти радиус и координаты центра окружности, заданной уравнением. ^{2 2}

I. Решение

В результате приходим к системе уравнений:

,

решением которой являются α = 1 и β = 1. Отсюда .

Ответ:

2. Решение

Как известно, модуль вектора равен корню квадратному из скалярного квадрата этого вектора ². Находим скалярный квадрат ^{2 2 2 2 2}

Отсюда

Ответ:

3. Решение

В силу коллинеарности вектор можно представить в виде , где λ – пока неизвестный множитель. Для его определения используем второй пункт условия ( Отсюда и

Ответ: =

4. Решение

Известно, что диагонали параллелограмма можно найти

т.к. векторы представляют собой единичные взаимно перпендику-лярные вектора, то можно считать координатным базисом, тогда для нахождения требуемого угла воспользуемся формулой

_{1 2})

Ответ:

5. Решение

Находим направляющие косинусы вектора силы

,

момент силы как векторное произведение вектора

на вектор :

Следовательно,

Ответ:

6. Решение

Найдем вектор следовательно,

Поскольку вектор перпендикулярен векторам и , то он коллинеарен вектору . Следовательно, .

Так как , то λ . Вектор образует тупой угол с осью ОХ, поэтому его проекция (координата) на эту ось должна быть отрицательной, отсюда λ и .

Ответ: = .

7. Решение

Рассмотрим три вектора , и

если точки А, В, С, D лежат в одной плоскости, то векторы компланарны. Для проверки составляем смешанное произведение этих векторов:

следовательно, векторы компланарны и точки лежат в одной плоскости.

8. Решение

Составим уравнение АС, для чего определим её угловой коэффициент из условия перпендикулярности АС и ВЕ:

Зная угловой коэффициент и одну точку, находим уравнение АС:

или

Находим координаты D как точки пересечения медианы BD и стороны AC:

Находим координаты вершины С, используя то, что D делит отрезок АС пополам, С(8, -6). Зная координаты всех вершин треугольника, составляем уравнения сторон АВ и ВС как прямых, проходящих через заданные точки.

АС:	или
BC:	.
Ответ: АС:

BC:

9. Решение

Длина высоты равна расстоянию от вершины D до плоскости АВС. Составим уравнение этой плоскости, воспользовавшись уравнением плоскости, проходящей через три точки:

Находим теперь расстояние от D до плоскости АВС:

Ответ: h = 3

10. Решение

Приводим уравнение к каноническому виду, выделяя полные квадраты или

Полученное уравнение определяет окружность радиуса 2 с центром в точке (5, -4).

Ответ: Окружность R = 2, центр (5, -4)

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ №2

«Предел и непрерывность функции»

Вариант 0

I. Найти пределы функций:

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.

и изобразить график функции в окрестности этих точек.

I. Решение

Нам потребуются следующие сведения из теории пределов:

Эквивалентности: .

,

Разложим числитель на множители: где – корни уравнения .

Имеем

Домножим числитель и знаменатель на , тогда согласно формуле получаем

Разложим квадратный трехчлен в знаменателе и воспользуемся тем, что при :

Получаем

Функция непрерывна всюду, кроме точки в которой знаменатель обращается в нуль, т.е. . Это и есть возможная точка разрыва. По определению функция называется непрерывной в точке , если

Она определена в этой точке.

Существует предел функции в

И этот предел равен значению функции в точке

Характер точки разрыва зависит от того, какое из этих трех условий нарушается

В нашем примере функция не существует в точке .

Для существования предела функции в точке должны существовать и быть равны односторонние пределы в этой точке:

Это также поможет нам построить правильно график в окрестности точки разрыва

Поиск по сайту: