Сходящиеся последовательности

Определение 1. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа найдется такой номер , зависящий от , что для всех выполняется неравенство

, равносильное

При этом пишут:

или .

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

С помощью кванторов и определение записывается так:

Интервал называют - окрестностью точки (числа) .

Определение 2. Число называется пределом последовательности , если в любой - окрестности точки содержатся все члены последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа.

Таким образом, конечное число элементов последовательности не влияет ни на существование ее предела, ни на его величину.

Теорема(единственность предела). Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

В связи с определением 1 всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число 0: .

Бесконечно большую последовательность иногда называют последовательностью, сходящейся к бесконечности, и записывают так: .

Естественно, понятия сходящейся и бесконечно малой последовательности связаны между собой.

Определение 3. Последовательность называется сходящейся, если существует такое число , что последовательность является бесконечно малой.

Из этого определения следует, что любой элемент сходящейся к числу последовательности можно представить в виде

, (1)

где – элемент бесконечно малой последовательности.

Пример 1. Пусть . Докажем, что .

Решение. Представим в виде суммы: . Здесь второе слагаемое есть элемент бесконечно малой последовательности. В силу определения 3 данная последовательность сходится к числу . ▲

Теорема (необходимое условие сходимости). Если последовательность сходится, то она ограничена.

Пример 2. Доказать, что последовательность расходится.

Решение. Докажем, что данная последовательность не ограничена. Так как для всех номеров , начиная с первого, то . Возьмем произвольное число . Для любого номера , такого что , соответствующий элемент последовательности удовлетворяет неравенству . Это означает, что последовательность не ограничена. Нарушено необходимое условие сходимости, поэтому данная последовательность расходится. ▲

Поиск по сайту: