Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Ограниченные и неограниченные последовательности



 

Основной операцией математического анализа является операция предельного перехода.Сначала рассмотрим простейшую форму предельного перехода на примере числовой последовательности.

Определение.Если каждому натуральному числу 1, 2,…, n,…поставлено в соответствие по определенному закону вещественное число , то множество занумерованных действительных чисел

, ,…, ,…

будем называть числовой последовательностью.

Числа назовем членами, или элементами, числовой последовательности. Сокращенно последовательность будем обозначать символом (иногда просто ). Так, например, символ обозначает последовательность , а символ - последовательность Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным. Например, множество значений последовательности состоит из двух чисел 1 и –1, множество значений последовательности бесконечно.

Зная -й член последовательности, можно записать любой член последовательности.

Таким образом, числовая последовательность - это функция, определенная на множестве натуральных чисел: .

 

Пример 1.Выписать первые пять членов последовательности

а) , б) , в)

Решение. а) ;

;

;

;

б) Если , то имеем одно слагаемое и ;

если , то имеем два слагаемых и ;

если , то ;

; .

в) Если (нечетное), то по первой строке ; если (четное), то по второй строке ; если (опять первая строка), то ; ; .

С другой стороны, так как каждый элемент последовательности строится по определенному закону, то, зная несколько первых членов последовательности, можно предположить, как выглядит её -й член.

Пример 2.По нескольким первым членам последовательности записать её -й член:

а) б) ; в) ,

Решение. а) Знаменатели 3, 6, 9…образуют арифметическую прогрессию, первый член которой , разность . Значит,

, тогда .

б) Знаменатели 2,4,8,… изменяются по закону , также происходит чередование знаков, начиная с «+». Значит, .

в) Запишем последовательность в виде Первое слагаемое в числителе всегда равно 1; а знаки второго слагаемого чередуются, начиная с отрицательного, т.е. изменяются по закону . Значит, числитель можно представить в виде . Тогда .

Введем понятие арифметических операций над числовыми последовательностями. Пусть даны две последовательности и . Суммой этих последовательностей назовем последовательность , разностью – , произведением – , частным – . Для существования последней последовательности необходимо потребовать, чтобы все элементы были отличны от нуля. Если же у последовательности нулю равно конечное число элементов, то последовательность можно определить с того номера, начиная с которого все .

Введем понятие ограниченной числовой последовательности. Само слово «ограниченная» предполагает существование границ, в пределах которых находятся все элементы последовательности.

Определение.Последовательность называется ограниченной, если существуют такие числа и , что любой элемент данной последовательности удовлетворяет неравенствам .

Числа и назовем верхней и нижней гранью последовательности.

Данное определение можно записать в другой форме. Если обозначить через , тогда все элементы последовательности будут удовлетворять неравенству , иначе, . Используя кванторы (существует, найдется) и (любой, для любого), это определение коротко можно записать так:

ограничена ( ).

Пример 3. Последовательность ограничена, так как .

Если же последовательность не ограничена, то не существует границ, в пределах которых находились бы все элементы последовательности.

Определение.Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа найдется элемент , удовлетворяющий неравенству или короче

- не ограничена .

Сравнивая определения ограниченной и неограниченной последовательности, замечаем, что кванторы и поменялись местами и знак неравенства изменился на противоположный.

Пример 4. Доказать, что последовательность не ограничена.

Доказательство. Действительно каким бы большим ни было число , обязательно найдётся (чётный) номер , такой что .

Пример 5. Доказать, что последовательность ограничена.

Доказательство . Поскольку неравенство очевидно для , то . Тогда для всех номеров , начиная с первого. Значит, . А это в силу определения и означает ограниченность данной последовательности. ▲

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.