Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Основные свойства пределов

ПЕРВЫЙ

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ

ПРЕДЕЛ

Реферат

Данилевской Светланы

группа 25 НИТф


Первый замечательный предел

 

 

Следствия

 

; ; ;

Основные свойства пределов

1. Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

2. Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

3. Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

4. Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

5. Предел произведения

Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

6. Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

7. Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

8. Предел показательной функции

где основание b > 0.

9. Предел логарифмической функции

где основание b > 0.

10. Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что для всех x, близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a.

 

 

Тогда, если , то

То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

Применение первого замечательного предела для вычисления других пределов

1)Вычислим предел . Очевидно, что при этом предел знаменателя - это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,

2)Вычислим предел . Сделаем замену переменного: пусть . Тогда и база переходит в базу . После замены получаем:

3)Вычислим предел . Очевидно, что при этом предел знаменателя был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем:

4)Вычислим предел . Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом: Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения: Заметим, что при заменах и база переходит в базу и , так что и Поэтому :

Задачи на применение первого замечательного предела.

Задачи с решением:

 

1)Найти . Учитывая, что имеем следующее:

. Осуществим следующее преобразование: в числителе домножим на 7х и разделим на 7х. Аналогичную операцию проделаем в знаменателе:

 

 

Так как при имеем , то можно применить первый замечательный предел: . Учитывая это, получим:

Сокращая х и вспомнив, что , получим:

2)

3)

4)

Задачи без решения с ответами:

1) =

2) =

 

3) =

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.