Момент импульса. Тензор инерции

Момент импульса тела относительно неподвижной точки - важнейшее понятие в динамике вращательного движения твердого тела. Он определяется так же, как и для системы материальных точек:

(2.1)

Здесь - импульс элементарной в лабораторной системе XYZ, а - радиус-вектор массы с началом в той неподвижной точке, относительно которой вычисляется момент импульса тела.

С учетом постоянства расстояний между точками абсолютно твердого тела вектор момента импульса L удается связать с вектором угловой скорости

Рассмотрим, к примеру, две одинаковые точечные массы укрепленные на концах невесомого стержня АВ (рис. 2.В). Стержень с массами вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня и перпендикулярной ему. В этом случае

(2.2)

Здесь учтено, что а

Рис. 2.3.

Существенно, что в этом примере вектор L, направлен так же, как и К сожалению, так бывает не всегда. В этом можно убедиться на примере, показанном на рис. 2.4. Здесь невесомый стержень АВ с двумя массами на концах жестко закреплен на вертикальной оси (в точке О) под некоторым углом к ней и лежит в плоскости Oyz. При вращении стержня вокруг вертикальной оси с угловой скоростью вектор L, определенный по (2.1), будет находиться в плоскости Oyz и составит угол с осью z. Система xyz, введенная в начале лекции 1, жестко связана со стержнем и поворачивается вместе с ним. При этом вектор L остается в плоскости Oyz, а в лабораторной системе движется по конической поверхности с углом полураствора

Рис. 2.4.

Получим выражение для L в случае твердого тела произвольной формы, закрепленного в некоторой точке О.

Пусть - радиус-вектор элементарной массы твердого тела, а - угловая скорость. Тогда

(2.3)

Векторы и L можно проектировать как на оси лабораторной системы XYZ, так и на оси системы xyz, жестко связанной с твердым телом (поскольку точка О неподвижна, начала обеих систем можно совместить). Преимущество системы xyz заключается в том, что в ней проекции являются постоянными величинами (в системе XYZ они зависят от времени), и выражения для компонент L, оказываются проще.

Итак, в системе xyz

(2.4)

Тогда, продолжая (2.3), можно записать:

(2.5)

Выражения для проекций момента импульса на оси системы xyz запишем в следующем виде:

(2.6)

(2.7)

(2.8)

или

(2.9)

(2.10)

(2.11)

где - 9 компонент так называемого тензора инерции твердого тела относительно точки О:

(2.)

Диагональные элементы тензора называются осевыми моментами инерции, недиагональные элементы называются центробежными моментами инерции. Обратим внимание, что Такой тензор называют симметричным.

Если координатам x, y и z присвоить номера 1, 2 и 3 соответственно, то (2.9-2.11) можно представить в виде

(2.13)

В символическом виде можно записать так:

(2.14)

Самое главное, что стоит за приведенными выше формулами, заключается в следующем. Девять величин (из них шесть независимых) определяют однозначную связь между L и причем оказывается, что L, вообще говоря, не совпадает по направлению с (рис. 2.5)

Рис. 2.5.

Итак, мы столкнулись с новым типом величин, имеющим важное значение в физике - тензором. Если для задания скалярной величины необходимо одно число (значение скалярной величины), векторной - три числа (три проекции вектора на оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в общем случае 9 чисел. На языке математики тензор - это многокомпонентная величина, характеризующаяся определенным поведением при преобразованиях системы координат (в данном случае компоненты тензора инерции преобразуются как произведения соответствующих координат).

Поиск по сайту: