23. Доказать, что если график функции везде выпуклый или везде вогнутый, то эта функция не может иметь более одного экстремума.
Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости для следующих функций.
24. . 25. 26. .
27. . 28. . 29. .
30. .
Асимптоты графика функции
Пусть существует такая прямая, что расстояние до нее от точки графика функции стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. Тогда прямая называется асимптотой графика функций. Прямая называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов: или равен бесконечности.
Если существуют конечные пределы и , то прямая есть наклонная асимптота графика функции . Пределы могут не существовать или быть бесконечными при и существовать при (левая наклонная асимптота).
Если функция может быть представлена в виде , где - бесконечно малая при , то есть наклонная асимптота.
Пример. Найти асимптоты графика функции .
Ñ Найдем область определения функции: ,
, ( применить правило Лопиталя)= . Следовательно - вертикальная асимптота, а не является асимптотой. Проверим наличие наклонной асимптоты. , ( , применим правило Лопиталя)= . Следовательно - наклонная асимптота. #
Задачи для самостоятельного решения
Найти асимптоты графиков следующих функций:
31. . 32. . 33. . 34. .
35. . 36. . 37. . 38. .
Общая схема исследования функций.
Для построения графика функции нужно провести исследование по следующей схеме:
1) Область определения функции .
2) Четность, нечетность, периодичность. Точки пересечения графика с осями координат.
3) Нахождение точек из области определения, в которых либо , либо не существует.
4) Нахождение точек из области определения, в которых либо , либо не существует.
5) Нахождение экстремумов, перегибов, интервалов возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости графика по сводной таблице.
6) Асимптоты.
7) Построение графика.
Пример. Провести полное исследование функции и построить график.
Ñ В соответствие со схемой имеем:
1) .
2) Функция общего вида. График проходит через точку (0,0).
3) . Точки возможного экстремума имеют абсциссы .
4) . Точка возможного перегиба имеет абсциссу x =0.
5) Результаты сводим в таблицу
x
–3
(–3, –1)
(–1, 0)
+
–
+
+
–
–
-
+
y
лок. max
перегиб
6) . Следовательно - вертикальная асимптота. Выделим целую часть . и так как - бесконечно малая при , то - наклонная асимптота.