Задачи для самостоятельного решения. Найти дифференциал функции:

Найти дифференциал функции:

65. . 66. . 67. . 68. .

69. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и ее дифференциал: , .

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций:

70. . 71. .

72. Найти приближенное значение приращения функции при изменении от до . Чему равен ?

73. Вычислить приближенно: а) ; б) ; в) .

74. Вычислить приближенно: .

75. , , . Выразить через а) и , б) и , в) и .

Теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ролля.Пусть функция непрерывна на , дифференцируема на и . Тогда существует, по крайней мере, одна точка такая, что .

Теорема Лагранжа.Пусть функция непрерывна на , дифференцируема на . Тогда существует, по крайней мере, одна точка такая, что .

Теорема Коши.Пусть функции и непрерывны на , дифференцируемы на и . Тогда существует, по крайней мере, одна точка такая, что .

Задачи для самостоятельного решения

76. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции в интервале .

77. Объяснить, почему для функции , принимающей равные значения на концах отрезка , не выполняется теорема Ролля.

78. Написать формулу Лагранжа для функции в интервале .

79. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции в интервале .

80. Записав формулу Коши для и на отрезке , найти значение .

81. Проверить справедливость формулы Коши для функций и на отрезке .

Правило Лопиталя - Бернулли

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности типа и .

Теорема Лопиталя.Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением быть может самой точки , и пусть в этой окрестности. Если функции и являются одновременно бесконечно малыми при (либо бесконечно большими при ) и существует , то существует и имеет место равенство: =

Замечание.

1) Правило применимо и в случае, когда .

2) Если производные и удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то к ним опять может быть применено это правило.

3) Предел отношения функций может существовать, но не вычисляться по правилу Лопиталя. Рассмотрим . Предел существует, так как . Однако для производных и предел при не существует, и, следовательно, не существует предел отношения этих производных.

Пример.Найти .

Ñ Имеем . #

Пример. Найти .

Ñ Применим правило Лопиталя, предварительно заменив на эквивалентную ей при бесконечно малую функцию .

применяя правило Лопиталя)=

при )= .#

Пример. Найти .

Ñ Имеем неопределенность типа . “Перестроим” функцию:

применяем правило Лопиталя)= .#

Пример. Найти .

Ñ Имеем неопределенность типа . Логарифмируя функцию , получаем . , применяем правило Лопиталя)= == , еще раз применяем правило Лопиталя)=

= = =ln 2. Следовательно, = = .#

Поиск по сайту: