69. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и ее дифференциал: , .
Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций:
70. . 71. .
72. Найти приближенное значение приращения функции при изменении от до . Чему равен ?
73. Вычислить приближенно: а) ; б) ; в) .
74. Вычислить приближенно: .
75. , , . Выразить через а) и , б) и , в) и .
Теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ролля.Пусть функция непрерывна на , дифференцируема на и . Тогда существует, по крайней мере, одна точка такая, что .
Теорема Лагранжа.Пусть функция непрерывна на , дифференцируема на . Тогда существует, по крайней мере, одна точка такая, что .
Теорема Коши.Пусть функции и непрерывны на , дифференцируемы на и . Тогда существует, по крайней мере, одна точка такая, что .
Задачи для самостоятельного решения
76. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции в интервале .
77. Объяснить, почему для функции , принимающей равные значения на концах отрезка , не выполняется теорема Ролля.
78. Написать формулу Лагранжа для функции в интервале .
79. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции в интервале .
80. Записав формулу Коши для и на отрезке , найти значение .
81. Проверить справедливость формулы Коши для функций и на отрезке .
Правило Лопиталя - Бернулли
Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности типа и .
Теорема Лопиталя.Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением быть может самой точки , и пусть в этой окрестности. Если функции и являются одновременно бесконечно малыми при (либо бесконечно большими при ) и существует , то существует и имеет место равенство: =
Замечание.
1) Правило применимо и в случае, когда .
2) Если производные и удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то к ним опять может быть применено это правило.
3) Предел отношения функций может существовать, но не вычисляться по правилу Лопиталя. Рассмотрим . Предел существует, так как . Однако для производных и предел при не существует, и, следовательно, не существует предел отношения этих производных.
Пример.Найти .
Ñ Имеем . #
Пример. Найти .
Ñ Применим правило Лопиталя, предварительно заменив на эквивалентную ей при бесконечно малую функцию .
применяя правило Лопиталя)=
при )= .#
Пример. Найти .
Ñ Имеем неопределенность типа . “Перестроим” функцию:
применяем правило Лопиталя)= .#
Пример. Найти .
Ñ Имеем неопределенность типа . Логарифмируя функцию , получаем . , применяем правило Лопиталя)= == , еще раз применяем правило Лопиталя)=