Задачи для самостоятельного решения. 54. Применить формулу Лейбница для вычисления производной: .

43. 44.

45. 46. 47.

48. 49. 50. Найти .

51. 52.

53.

54. Применить формулу Лейбница для вычисления производной: .

Геометрический и механический смысл производной

. (Рис. 1).

Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной в этой точке.

Ее уравнение: .

Углом между кривыми в их общей точке называется угол между касательными, проведенными к кривым в этой точке.

Механический смысл производной: Если закон движения материальной точки описывается функцией , то есть скорость, а - ускорение этой точки в момент времени t.

Пример.Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

Ñ , . Тогда , .Составим уравнение касательной и нормали к графику . : , : или : , : .#

Пример.Написать уравнение касательной к кривой , в точке .

Ñ Вычислим . Тогда , ,

. Уравнение касательной имеет вид: .#

Пример.Найти угол под которым пересекаются кривые и

Ñ Найдем точки пересечения кривых и . Из равенства находим точки пересечения , . Вычислим угловые коэффициенты и касательных к кривым и в точке . ,

Угол между касательными определяем по формуле

. В точке имеем соответственно и . Тогда и . #

Пример.Тело массой 4 движется прямолинейно по закону . Определить кинетическую энергию тела в момент времени .

Ñ Найдем скорость в момент времени . , .

Тогда кинетическая энергия есть .#

Задачи для самостоятельного решения

55. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 3?

56. При каком значении независимой переменной касательные к кривым и параллельны?

57. Составить уравнение касательной и нормали к линии в точке с абсциссой .

58. Составить уравнение нормали к линии в точке с абсциссой .

59. Найти угловой коэффициент касательной к линии , в точке .

60. Составить уравнение касательной и нормали к линии , при .

В следующих задачах найти углы, под которыми пересекаются линии.

61. и . 62. и .

63. и .

64. Сторона квадрата увеличивается со скоростью . Какова скорость изменения периметра и площади квадрата в тот момент, когда его сторона равна ?

Дифференциал

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде , где - постоянная, не зависящая от , а - бесконечно малая величина при .

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование у функции производной в данной точке, при этом справедливо равенство .

Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции в точке и обозначается . .

Свойства дифференциала. Пусть и дифференцируемые функции. Тогда справедливы равенства:

1. , с – постоянная. 2. .

3. . 4. ,

5. Пусть сложная функция, образованная композицией дифференцируемых функций и . Тогда . Эти равенства выражают свойство инвариантности формы первого дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала.

Рис 1

Дифференциал функции в точке есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке , при приращении аргумента равном .

(Рис. 1).При имеем ,

откуда получаем формулу приближенного вычисления значения функции в точке.

Пример.Найти дифференциал функции .

Ñ Перепишем функцию в виде . Найдем .

. Тогда .#

Пример.Вычислить приближенно .

Ñ Выберем точку и приращение так, чтобы был легко вычисляем, а было мало в сравнении с . Пусть , . Для функции имеем: , , . Тогда .#

Дифференциалом второго порядка функции называется первый дифференциал первого дифференциала , то есть и он обозначается или .

Соответственно дифференциал n-ого порядка , .

Дифференциалы 2-го и более высоких порядков сложных функций не обладают свойством инвариантности.

Поиск по сайту: