Задачи для самостоятельного решения. Продифференцировать указанные функции.

Продифференцировать указанные функции.

1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. . 13. .

14. . 15. . 16. . 17. .

18. . 19. . 20. . 21. . 22. . 23. . 24. . 25. . 26. .

27. . 28. . 29. . 30. .

Дифференцирование функций, заданных

Неявно или параметрически

Функция называется заданной неявно уравнением на некотором множестве , если , . Для нахождения производной функции необходимо продифференцировать по обе части уравнения и затем полученное уравнение разрешить относительно .

Пример. Найти для функции, заданной неявно: .

ÑДифференцируя по обе части равенства получим:

; ;

, . #

Пусть заданы функции , , и пусть на интервале функция имеет обратную . Тогда можно определить функцию , которая называется параметрически заданной.

Теорема 1 (Производная обратной функции). Пусть функция возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки . Пусть, также, . Тогда в некоторой окрестности точки определена обратная функция , причем дифференцируема в точке и . Более простая форма записи для произвольной точки , в которой выполнены условия теоремы: . Применяя теорему 1, получим: для функции, заданной параметрически:

Пример. Найти , если , .

Ñ Так как , , то . #

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные от по для неявно заданных функций.

31. . 32. . 33. .

34. . 35. . 36. . 37. .

Найти производные от по для функций заданных параметрически.

38. , . 39. .

40. . 41. . 42. .

Производные высших порядков

Производной второго порядка от функции называется производная от ее первой производной, т.е. .Соответственно производной n-ного порядка называется производная от (n-1) - ой производной, т.е.

Пример. Найти производную порядка от функции .

Ñ , . Продолжая дифференцирование функции, получим: . #

Если функции и имеют производные до n-ного порядка включительно, то справедлива формула Лейбница:

Пример. Найти производную 5-го порядка от функции .

Ñ

.

Имеем: , , ,

, , , ,

Подставляя полученные значения производных, находим:

. #

Пример. Найти производную второго порядка от функции .

Ñ Дифференцируя уравнение по , получаем .

Отсюда , или .

Заменим на из условия: . Дифференцируя последнее уравнение по , имеем: . Используя найденное для выражение, получаем . #

Для функции , заданной параметрически, , производная второго порядка находится по формуле . Производная порядка n определяется следующим образом: .

Пример. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически: .

Ñ Найдем первую производную: . Тогда .#

Поиск по сайту: