Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Задачи для самостоятельного решения. Найти точки разрыва функции, определить их характер и построить схематично график



 

Найти точки разрыва функции, определить их характер и построить схематично график функции в окрестности точек разрыва.

1. . 2. и . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. .

9. Функция не определена в точке . Можно ли так доопределить функцию в точке , чтобы функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.

10. Исследовать характер разрыва функции в точке . Можно ли так доопределить при , чтобы функция стала непрерывной при ?

Исследовать на непрерывность функции. Сделать чертеж графика.

11. 12. 13.

14.

 

Ответы к задачам главы 3:

1. Функция имеет в точке разрыв второго рода (бесконечный, в точке также имеет бесконечный разрыв второго рода.

2. Функция имеет в точке устранимый разрыв, - разрыв второго рода (бесконечный).

3. Если , то ; если , то . В точке разрыв первого рода типа скачок.

4. В точке разрыв второго рода. Предел не существует при .

5. Функция имеет три точки разрыва. При - разрыв устранимый, при - разрыв второго рода (бесконечный).

6. При - разрыв второго рода (бесконечный).

7. При - разрывы второго рода (бесконечные).

8. При и - разрывы второго рода (бесконечные).

9. Нет. Если справа, то , если слева, то .

10. Нет. Если справа, то , если слева, то .

11. При - разрыв первого рода (скачок).

12. При - разрыв первого рода (скачок), в точке функция непрерывна.

13. В точке функция непрерывна, в точке - разрыв первого рода (скачок).

14. В точке - разрыв первого рода (скачок), в точке функция непрерывна.

 


Глава4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная. Дифференцирование явно заданных функций

Пусть есть приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента . Производной функции в точке называется предел . Числа и называются соответственно левой и правой производными функции в точке . Необходимым и достаточным условием существования является существование и совпадение и . Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

 

Таблица производных основных элементарных функций

1. , где С - const. 2. , .

3. , ; . 4. , ; .

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. . 13. . 14. .

Правила дифференцирования функций.Пусть и дифференцируемые функции. Тогда:

1. . 2. . 3. , где .

Производная сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и справедливо равенство ; .

Пример. Найти производную функции .

Ñ Полагая и , имеем и .

Тогда получаем: . #

Правило дифференцирования сложной функции справедливо для любого конечного числа композиций основных элементарных функций.

Пример. Найти производную функции .

Ñ Используя таблицу производных и правила дифференцирования, получаем: = . #

Производная от логарифма функции , т.е. называется логарифмической производной, а операция дифференцирования – логарифмическим дифференцированием. Применение логарифмирования часто упрощает взятие производной, а в случае степенно-показательной функции оно необходимо.

Пример. Найти производную функции .

Ñ Логарифмируя, получим . Находим производные левой и правой частей равенства: .

Тогда . #

Пример. Найти производную функции .

Ñ . Дифференцируя обе части равенства, получим: ,

. #

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.