Найти точки разрыва функции, определить их характер и построить схематично график функции в окрестности точек разрыва.
1. . 2. и . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. .
9. Функция не определена в точке . Можно ли так доопределить функцию в точке , чтобы функция стала непрерывной в этой точке? Построить график этой функции.
10. Исследовать характер разрыва функции в точке . Можно ли так доопределить при , чтобы функция стала непрерывной при ?
Исследовать на непрерывность функции. Сделать чертеж графика.
11. 12. 13.
14.
Ответы к задачам главы 3:
1. Функция имеет в точке разрыв второго рода (бесконечный, в точке также имеет бесконечный разрыв второго рода.
2. Функция имеет в точке устранимый разрыв, - разрыв второго рода (бесконечный).
3. Если , то ; если , то . В точке разрыв первого рода типа скачок.
4. В точке разрыв второго рода. Предел не существует при .
5. Функция имеет три точки разрыва. При - разрыв устранимый, при - разрыв второго рода (бесконечный).
6. При - разрыв второго рода (бесконечный).
7. При - разрывы второго рода (бесконечные).
8. При и - разрывы второго рода (бесконечные).
9. Нет. Если справа, то , если слева, то .
10. Нет. Если справа, то , если слева, то .
11. При - разрыв первого рода (скачок).
12. При - разрыв первого рода (скачок), в точке функция непрерывна.
13. В точке функция непрерывна, в точке - разрыв первого рода (скачок).
14. В точке - разрыв первого рода (скачок), в точке функция непрерывна.
Глава4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная. Дифференцирование явно заданных функций
Пусть есть приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента . Производной функции в точке называется предел . Числа и называются соответственно левой и правой производными функции в точке . Необходимым и достаточным условием существования является существование и совпадение и . Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Таблица производных основных элементарных функций
1. , где С - const. 2. , .
3. , ; . 4. , ; .
5. . 6. . 7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. . 13. . 14. .
Правила дифференцирования функций.Пусть и дифференцируемые функции. Тогда:
1. . 2. . 3. , где .
Производная сложной функции. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и справедливо равенство ; .
Пример. Найти производную функции .
Ñ Полагая и , имеем и .
Тогда получаем: . #
Правило дифференцирования сложной функции справедливо для любого конечного числа композиций основных элементарных функций.
Пример. Найти производную функции .
Ñ Используя таблицу производных и правила дифференцирования, получаем: = . #
Производная от логарифма функции , т.е. называется логарифмической производной, а операция дифференцирования – логарифмическим дифференцированием. Применение логарифмирования часто упрощает взятие производной, а в случае степенно-показательной функции оно необходимо.
Пример. Найти производную функции .
Ñ Логарифмируя, получим . Находим производные левой и правой частей равенства: .