Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Задачи для самостоятельного решения



Глава 1. Действительные функции одного переменного

 

Основные понятия и определения

1°. Понятие функции состоит из трех частей: 1) области определения D; 2) множества T, содержащего область значений E; 3) правила, которое для каждого элемента из области D задает единственный элемент из области T.

2°. Для функций действительного переменного их области определения D и области значений E принадлежат множеству действительных чисел R. Если обозначить функцию символом f, а элементы D и E- символами x и y , то функция f сопоставляет по определенному правилу каждому элементу единственное значение , что записывается в виде:

или .

По традиции x называют независимой переменной (аргументом), а yзависимой переменнойфункцией. Иногда функцию обозначают тем же символом, что и значение и пишут y=y(x).

3°. Способы задания функций:1) аналитический (т.е. математической формулой, называемой аналитическим выражением и дающей возможность вычислить значение функции); 2) графический; 3) при помощи таблицы; 4) при помощи словесного описания.

4°. Функция определена для , если значение f(x) конечное и вещественное. Множество значений x, для которых функция определена, образует область определения (область существования) . В простейших случаях D есть открытый промежуток (интервал) (a;b): a < x < b, или полуоткрытые промежутки [a,b): a £ x < b, (a,b]: a < x £ b, или закрытый промежуток (отрезок, сегмент) [a,b]: a £ x £ b, где a и b- некоторые числа или символы -¥ и + ¥ (в последних случаях равенства исключаются). Если функция задана аналитически и об области определения ничего не сказано, то ее считают множеством всех чисел, при которых формула, задающая значение функции, имеет смысл и называют естественной областью определения функции D(f).

5°. Множество всех значений, которые функция принимает на элементах своей области определения, есть область значений .

6°. Считая, что x - некоторая точка М числовой оси, а соответствующее значение y=f(x) – точка другой числовой оси, функцию называют отображением. Тогда точка - образ точки М, а точка М- прообраз точки .

7°. Сложная функция. Если функция y=f(u) отображает область определения E в область значений L, а функция u=g(x) отображает свою область определения D в область значений , при этом , тогда сложная функция

y=f(g(x)) (1.1)

отображает D в L. Запишем иначе: если и , где , то сложная функция

(1.2)

Из (1.1) и (1.2) следует т.е. функция реализует идею: “ применяй g, затем применяй f ”.

8°. Неявная функция. Пусть дано уравнение вида и пусть существует такое множество X, что для каждого существует по крайней мере одно число y, удовлетворяющее уравнению . Обозначим одно из таких чисел через и поставим его в соответствие числу . В результате имеем функцию f , определенную на множестве X и такую, что для всех . В этом случае говорят, что функция f задается неявно уравнением . Уравнение может задавать не одну, а некоторое множество неявно заданных функций.

9°.Основные элементарные функции: постоянная y = C (C – const); степенная ; показательная (a > 0); логарифмическая , (a > 0, ); тригонометрические , ; обратные тригонометрические , , .

10°. Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций (суперпозиций) основных элементарных функций.

11°. Классы элементарных функций.

1) Целые рациональные функции:

, . Сумма, разность и произведение целых рациональных функций есть целая рациональная функция.

2) Дробные рациональные функции: .

Заметим, что класс целых рациональных функций содержится в классе дробных рациональных функций.

3) Алгебраические функции: между y и x существует зависимость вида

,

где -многочлены относительно x; при этом y удовлетворяет определенным требованиям. Классы 1), 2) содержатся в классе алгебраических функций.

4)Трансцендентные функции – это всякие функции, не являющиеся алгебраическими. Можно показать, что показательная, логарифмическая, прямые и обратные тригонометрические функции являются трансцендентными.

Пример. Определить область определения функций:

а) ; б) .

Ñ а) Так как функция arcsinx определена при , а функция lgx – при x>0, то x должен удовлетворять нескольким условиям одновременно, т.е. получается пересечением множеств:

;

б) Так как функция sinx определена , lgx – при x>0 и функция определена , кроме x=0, то

, .

Находим односторонние пределы:

.

Поэтому . #

Пример. Сложную функцию представить цепочкой из основных элементарных функций.

Ñ y – “пятисложная” функция. #

Пример. Функция задана в неявном виде уравнением . Написать функцию в явном виде.

Ñ Решив уравнение относительно y, получим в явном виде две однозначные функции и с одной и той же областью существования, но с различными областями значений. Обе они удовлетворяют исходному уравнению, и выбор конкретной из них, если необходимо, определяется из геометрических, или физических, или иных соображений. #

Задачи для самостоятельного решения

Найти области определения данных функций:

1. . 2. . 3. . 4. ,

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. .

14. В шар радиуса R вписывается прямой конус. Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности S конуса от его образующей x. Указать область определения этой функции.

15. Пусть функция f(u) определена при 0<u<1. Найти область определения функций: a) f (sin x), б) f (ln x).

16. Дано: , . Выразить y как функцию t.

17. Дано: . Выразить u как функцию x.

Следующие сложные функции представить с помощью цепочек элементарных функций:

18. . 19. . 20. . 21. .

20. . Найти: а) , б) , в) ,

г) , д) .

Написать в явном виде функцию , неявно заданную уравнениями:

23. . 24. . 25. . 26. .

27. .

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.