Глава 1. Действительные функции одного переменного
Основные понятия и определения
1°. Понятие функции состоит из трех частей: 1) области определения D; 2) множества T, содержащего область значений E; 3) правила, которое для каждого элемента из области D задает единственный элемент из области T.
2°. Для функций действительного переменного их области определения D и области значений E принадлежат множеству действительных чисел R. Если обозначить функцию символом f, а элементы D и E- символами x и y , то функция f сопоставляет по определенному правилу каждому элементу единственное значение , что записывается в виде:
или .
По традиции x называют независимой переменной (аргументом), а y – зависимой переменной — функцией. Иногда функцию обозначают тем же символом, что и значение и пишут y=y(x).
3°. Способы задания функций:1) аналитический (т.е. математической формулой, называемой аналитическим выражением и дающей возможность вычислить значение функции); 2) графический; 3) при помощи таблицы; 4) при помощи словесного описания.
4°. Функция определена для , если значение f(x) конечное и вещественное. Множество значений x, для которых функция определена, образует область определения (область существования) . В простейших случаях D есть открытый промежуток (интервал) (a;b): a < x < b, или полуоткрытые промежутки [a,b): a £ x < b, (a,b]: a < x £ b, или закрытый промежуток (отрезок, сегмент) [a,b]: a £ x £ b, где a и b- некоторые числа или символы -¥ и + ¥ (в последних случаях равенства исключаются). Если функция задана аналитически и об области определения ничего не сказано, то ее считают множеством всех чисел, при которых формула, задающая значение функции, имеет смысл и называют естественной областью определения функции D(f).
5°. Множество всех значений, которые функция принимает на элементах своей области определения, есть область значений .
6°. Считая, что x - некоторая точка М числовой оси, а соответствующее значение y=f(x) – точка другой числовой оси, функцию называют отображением. Тогда точка - образ точки М, а точка М- прообраз точки .
7°. Сложная функция. Если функция y=f(u) отображает область определения E в область значений L, а функция u=g(x) отображает свою область определения D в область значений , при этом , тогда сложная функция
y=f(g(x)) (1.1)
отображает D в L. Запишем иначе: если и , где , то сложная функция
(1.2)
Из (1.1) и (1.2) следует т.е. функция реализует идею: “ применяй g, затем применяй f ”.
8°. Неявная функция. Пусть дано уравнение вида и пусть существует такое множество X, что для каждого существует по крайней мере одно число y, удовлетворяющее уравнению . Обозначим одно из таких чисел через и поставим его в соответствие числу . В результате имеем функцию f , определенную на множестве X и такую, что для всех . В этом случае говорят, что функция f задается неявно уравнением . Уравнение может задавать не одну, а некоторое множество неявно заданных функций.
9°.Основные элементарные функции: постоянная y = C (C – const); степенная ; показательная (a > 0); логарифмическая , (a > 0, ); тригонометрические , ; обратные тригонометрические , , .
10°. Элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций (суперпозиций) основных элементарных функций.
11°. Классы элементарных функций.
1) Целые рациональные функции:
, . Сумма, разность и произведение целых рациональных функций есть целая рациональная функция.
2) Дробные рациональные функции: .
Заметим, что класс целых рациональных функций содержится в классе дробных рациональных функций.
3) Алгебраические функции: между y и x существует зависимость вида
,
где -многочлены относительно x; при этом y удовлетворяет определенным требованиям. Классы 1), 2) содержатся в классе алгебраических функций.
4)Трансцендентные функции – это всякие функции, не являющиеся алгебраическими. Можно показать, что показательная, логарифмическая, прямые и обратные тригонометрические функции являются трансцендентными.
Пример. Определить область определения функций:
а) ; б) .
Ñ а) Так как функция arcsinx определена при , а функция lgx – при x>0, то x должен удовлетворять нескольким условиям одновременно, т.е. получается пересечением множеств:
;
б) Так как функция sinx определена , lgx – при x>0 и функция определена , кроме x=0, то
, .
Находим односторонние пределы:
.
Поэтому . #
Пример. Сложную функцию представить цепочкой из основных элементарных функций.
Ñ y – “пятисложная” функция. #
Пример. Функция задана в неявном виде уравнением . Написать функцию в явном виде.
Ñ Решив уравнение относительно y, получим в явном виде две однозначные функции и с одной и той же областью существования, но с различными областями значений. Обе они удовлетворяют исходному уравнению, и выбор конкретной из них, если необходимо, определяется из геометрических, или физических, или иных соображений. #
Задачи для самостоятельного решения
Найти области определения данных функций:
1. . 2. . 3. . 4. ,
5. . 6. . 7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. .
14. В шар радиуса R вписывается прямой конус. Найти функциональную зависимость площади боковой поверхности S конуса от его образующей x. Указать область определения этой функции.
15. Пусть функция f(u) определена при 0<u<1. Найти область определения функций: a) f (sin x), б) f (ln x).
16. Дано: , . Выразить y как функцию t.
17. Дано: . Выразить u как функцию x.
Следующие сложные функции представить с помощью цепочек элементарных функций:
18. . 19. . 20. . 21. .
20. . Найти: а) , б) , в) ,
г) , д) .
Написать в явном виде функцию , неявно заданную уравнениями: