Почему ПОЧТИ? Мы можем сказать — такую фигуру нарисовать, не отрывая руки, нельзя. НИКАК! У нее не то количество концов «нити Ариадны» — не 0 и не 2.
А концы — это вершины с нечетным числом.
Но если число правильное — ВСЕГДА ли можно нарисовать… НЕТ. И вот ПОЧЕМУ!
Вот ТАКАЯ фигура
Вы скажете, это НЕ ОДНА фигура, а ДВЕ? А ПОЧЕМУ?
Или Вот такая фигура
С этими фигурами всё в порядке — чётность вершин правильная. НО! Они НЕ ЦЕЛЫЕ.
В топологии ЦЕЛЫЕ фигуры называют ОДНОСВЯЗНЫМИ. В них нет ДВУХ точек, между которыми нет линии, их соединяющих.
Вот ОДНОСВЯЗНАЯ фигура:
А вот эта — НЕ ОДНОСВЯЗНА!
ЕСЛИ ФИГУРА ОДНОСВЯЗНА — И ОНА «ЧЁТНАЯ» — ЕЁ МОЖНО НАОИСОВАТЬ НЕ ОТРЫВАЯ РУКИ.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ (ТОПОЛОГИЯ)
Вырежьте из бумаги полоску бумаги. Примерно такую:
Склейте её так, чтобы цветные точки СОВПАЛИ.
Для этого её придется один раз РАЗВЕРНУТЬ с одного конца!
А теперь ОТРЕЖТЕ от неё КРАЙ!
После того, как вы удивитесь тому, что у вас получилось, возьмите еще одно такое кольцо из склеенной специальным образом полоски и разрежете посредине.
И СКОЛЬКО ЧАСТЕЙ? Здорово — правда?
А теперь, возьмите третье кольцо и карандаш. Лучше — мягкий, чтобы не было трудно рисовать на весу.
И С ОДНОЙ стороны проведите линию вдоль ленты (не отрывая руки!), пока она не замкнется! Вот так:
И СКОЛЬКО СТОРОН? ЕСТЬ ЛИ ВТОРАЯ — БЕЗ ЛИНИИ?
СНОВА ТАБЛИЦЫ (МАТРИЦЫ)
Пусть у нас есть — например, ЧЕТРЕ — точки:
Соединим их линиями, получится ФИГУРА. Такую фигуру математики называют ГРАФОМ!
Эту фигуру можно представить ИНАЧЕ! В виде ТАБЛИЦЫ. Похожей на ту, о которой мы говорили при расстановке КАМУШКОВ,
в А
в Б
в В
в Г
из А
из Б
из В
из Г
Вот она — ЕЩЁ ПУСТАЯ!
в А
в Б
в В
в Г
из А
из Б
из В
из Г
Из А выходят ДВЕ линии — в Б и Г. Обозначим их единицами.
в А
в Б
в В
в Г
из А
из Б
из В
из Г
Вот ПОЛНАЯ таблица!
Правда, еще можно в пустые клеточки поставить 0
Эти таблицы ПОХОЖИ на те, которые мы РАССМАТРИВАЛИ в пошлый раз, про КАМУШКИ.
НО — переставлять строки и столбцы (отдельно друг от друга) уже нельзя!
А что будет, если из точки в точку ведет НЕ ОДИН путь.
Попробуйте ДОМА сообразить, как будет выглядеть ТАБЛИЦА для следующей ФИГУРЫ:
Для этого «забудем» про «КАМУШКИ» и «вспомним» про «ДЕРЕВЬЯ»
А вот для такой фигуры сможете? Здесь стрелкой обозначена односторонняя дорога: из точки в точку — только по стрелке!