Применение ЗЛП в экономике. Экономический смысл двойственности

Типичные варианты применения линейного программирования:

1) укрупненное планирование производства (составление графиков производства, минимизирующих общие издержки с учетом издержек в связи с изменением ставки процента, заданных ограничений по трудовым ресурсам и уровням запасов);

2) планирование ассортимента изделий (определение оптимального ассортимента продукции, в котором каждому ее виду свойственны свои издержки и потребности в ресурсах);

3) планирование распределения продукции (составление оптимального графика отгрузки с учетом распределения продукции между производственными предприятиями и складами, складами и магазинами розничной торговли);

4) и др.

Теория математического линейного программирования позволяет не только получать оптимальные планы с помощью эффективных вычислительных процедур, но и делать ряд экономически содержательных выводов, основанных на свойствах задачи, которая является двойственной по отношению к исходной ЗЛП.

1 теорема двойственности. Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причём оптимальные значения их целевых функций равны. Если целевая функция одной из задач не достигает оптимума, то условия другой задачи противоречивы.

Экономический смысл первой теоремы двойственности состоит в следующем. План производства Х* и набор цен ресурсов Y* оптимальны тогда и только тогда, когда прибыль (выручка) от продукции, найденная при «внешних» (известных заранее) ценах C₁,C_2,..,C₃, равна затратам на ресурсы по «внутренним» (определяемым только из решения задачи) ценам Y₁,Y₂,..,Y_m. Связь между двойственными задачами проявляется не только в равенстве оптимальных значений их целевых функций (первая теорема двойственности).

2 теорема двойственности. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффи­циентов при соответствующих переменных линейной функции исход­ной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимально­го решения.

Если в одной из взаимно двойственных задач нару­шается единственность оптимального решения, то оптимальное решение двойственной задачи вырожденное. Это связано с тем, что при нарушении единственности оптимального решения исходной задачи в выражении линейной функции ее опти­мального решения через неосновные переменные отсутствует хотя бы одна из основных переменных.

3 теорема двойственности.Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны значениям частных производных линейной функции F_max(b₁,b₂,…,b_m) по соответствующим аргументам. Объективно обусловленные оценки ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль (выручка) от реализации продукции при изме­нении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.

Двойственные оценки могут служить инструментом анализа и принятия правильных решений в условиях постоянно меняюще­гося производства. Так, например, с помощью объективно обуслов­ленных оценок ресурсов возможно сопоставление оптимальных услов­ных затрат и результатов производства.

Объективно обусловленное оценки ресурсов позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений ресур­сов. При резких изменениях сами оценки могут стать другими, что приведет к невозможности их использования для анализа эф­фективности производства. По соотношениям объективно обусловленных оценок могут быть определены расчетные нормы заменяемости ресурсов, при соблюде­нии которых проводимые замены в пределах устойчивости двой­ственных оценок не влияют на эффективность оптимального плана. Двойственные оценки являются показателем дефицитности ресурсов и продукции и показателем эффективности производства отдельных видов продукции с позиций критерия оптимальности, а так же инструментом сопоставления суммарных условных затрат и результатов.

Поиск по сайту: