Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Продолжение таблицы 6



3,9 0,7 6,5 4,1 5,3 3,2 0,3 7,3 0,3 0,9 2,8 5,4 2,4 7,3 7,5 3,1 7,5 4,3 6,5
9,5 6,3 4,2 0,9 8,4 8,8 7,3 2,8 6,7 0,7 3,2 3,1 4,3 0,2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9.

Определение собственных векторов и собственных значений матрицы.

Собственными значениями матрицы называются корни характеристического уравнения n-го порядка

где A - матрица

E - единичная матрица порядка n.

Собственные значения матрицы могут быть упорядоченными по величине , ставится задача отыскания наибольшего собственного значения .

Собственным вектором матрицы А, соответствующим i- тому собственному значению называется решение системы

(26)

В силу того, что система однородна, собственный вектор определяется с точностью до произвольного постоянного множителя.

Поскольку любой произвольный n - мерный вектор может быть разложен по собственным векторам

то при подстановке вектора в систему получим

и т.д.

Вообще

если , то величины при т.е. при достаточно больших k -

т.е.

Таким образом, выбрав произвольный ветор и, умножая его последовательно на матрицу А k раз, получим, что является коэффициентом пропорциональности в соотношении

,

причем точность этого равенства повышается с ростом k.

Тогда , где - норма вектора .

Алгоритм метода

1. Выберем произвольный вектор

2. Вычислим вектор и первое приближение собственного значения где

3. Вычислим вектор и второе приближение собственного значения .

4. Если то - приближенное значение первого собственного значения, - приближенное значение собственного вектора. Если то положить и перейти к шагу 3.

Варианты заданий приведены в таблице 6. Для четных номеров вариантов , для нечетных .


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10.

Среднеквадратичное приближение сеточных функций.

Дана сеточная функция y(x), заданная на системе узлов своими значениями в узлах . Известно, что по системе n узлов можно построить интерполяционный полином порядка n-1 , который будет принимать во всех узлах в точности предеписанные значения. Однако, во многих практически важных случаях необходимо построить полином степени меньше, чем n-1, приближающий данную сеточную функцию "в среднем". В этом случае можно сформулировать задачу отыскания такого полинома порядка m<n-1

при котором "невязка", т.е. суммарное отличие значений полинома в узлах от значений сеточной функции было бы наименьшим. Если записать выражение для "невязки" в виде

,

то условиями для определения коэффициентов полинома будут необходимые условия минимума функции многих переменных .

Таким образом, коэффициенты могут быть найдены из решения системы уравнений

Для получения рабочих формул метода продифференцируем выражение для "невязки" по

Поскольку то и условие приводит к уравнению:

Преобразуем выражение суммы

Следовательно, неизвестные коэффициенты можно найти, решив систему из m+1 линейного уравнения

(27)

Алгоритм метода.

1. Зададим узловые значения функции и узлы для .

2. Вычислим матрицу A размером

для

3. Вычислим правые части системы

для

4. Решив систему уравнений методом Гаусса, получим ее решение

5. Вычислим значения найденного полинома в узловых точках

и вычислим "невязки" в узлах

Варианты заданий приведены в таблице 3. Для нечетных вариантов заданий принять m=3, для четных m=4. Значения найденного полинома искать только в узловых точках.


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11.

Поиск экстремумов функции с несколькими переменными.

Как правило, численные методы отыскания экстремума состоят в построении последовательности векторов , при поиске минимума удовлетворяющих условию: . Методы построения таких последовательностей называются методами спуска. В этих методах элементы последовательности вычисляются по формуле:

где - направление спкска, - длина шага в этом направлении.

Направлением спуска является антиградиент:

а длина шага в различных методах определяется по разному. Так, в методе наискорейшего спуска определяется из ус ловия:

то есть на каждом шаге находится оптимальное значение , минимизирующее одномерную функцию по направлению антиградиента. Для двумерной функции определяют следующим образом. После определения градиента минимизируемой функции делается шаг в направлении, обратном градиенту и пропорциональный ему (чем меньше крутизна функции, тем меньше и шаг):

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.