Определение собственных векторов и собственных значений матрицы.
Собственными значениями матрицы называются корни характеристического уравнения n-го порядка
где A - матрица
E - единичная матрица порядка n.
Собственные значения матрицы могут быть упорядоченными по величине , ставится задача отыскания наибольшего собственного значения .
Собственным вектором матрицы А, соответствующим i- тому собственному значению называется решение системы
(26)
В силу того, что система однородна, собственный вектор определяется с точностью до произвольного постоянного множителя.
Поскольку любой произвольный n - мерный вектор может быть разложен по собственным векторам
то при подстановке вектора в систему получим
и т.д.
Вообще
если , то величины при т.е. при достаточно больших k -
т.е.
Таким образом, выбрав произвольный ветор и, умножая его последовательно на матрицу А k раз, получим, что является коэффициентом пропорциональности в соотношении
,
причем точность этого равенства повышается с ростом k.
Тогда , где - норма вектора .
Алгоритм метода
1. Выберем произвольный вектор
2. Вычислим вектор и первое приближение собственного значения где
3. Вычислим вектор и второе приближение собственного значения .
4. Если то - приближенное значение первого собственного значения, - приближенное значение собственного вектора. Если то положить и перейти к шагу 3.
Варианты заданий приведены в таблице 6. Для четных номеров вариантов , для нечетных .
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10.
Среднеквадратичное приближение сеточных функций.
Дана сеточная функция y(x), заданная на системе узлов своими значениями в узлах . Известно, что по системе n узлов можно построить интерполяционный полином порядка n-1 , который будет принимать во всех узлах в точности предеписанные значения. Однако, во многих практически важных случаях необходимо построить полином степени меньше, чем n-1, приближающий данную сеточную функцию "в среднем". В этом случае можно сформулировать задачу отыскания такого полинома порядка m<n-1
при котором "невязка", т.е. суммарное отличие значений полинома в узлах от значений сеточной функции было бы наименьшим. Если записать выражение для "невязки" в виде
,
то условиями для определения коэффициентов полинома будут необходимые условия минимума функции многих переменных .
Таким образом, коэффициенты могут быть найдены из решения системы уравнений
Для получения рабочих формул метода продифференцируем выражение для "невязки" по
Поскольку то и условие приводит к уравнению:
Преобразуем выражение суммы
Следовательно, неизвестные коэффициенты можно найти, решив систему из m+1 линейного уравнения
(27)
Алгоритм метода.
1. Зададим узловые значения функции и узлы для .
2. Вычислим матрицу A размером
для
3. Вычислим правые части системы
для
4. Решив систему уравнений методом Гаусса, получим ее решение
5. Вычислим значения найденного полинома в узловых точках
и вычислим "невязки" в узлах
Варианты заданий приведены в таблице 3. Для нечетных вариантов заданий принять m=3, для четных m=4. Значения найденного полинома искать только в узловых точках.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11.
Поиск экстремумов функции с несколькими переменными.
Как правило, численные методы отыскания экстремума состоят в построении последовательности векторов , при поиске минимума удовлетворяющих условию: . Методы построения таких последовательностей называются методами спуска. В этих методах элементы последовательности вычисляются по формуле:
где - направление спкска, - длина шага в этом направлении.
Направлением спуска является антиградиент:
а длина шага в различных методах определяется по разному. Так, в методе наискорейшего спуска определяется из ус ловия:
то есть на каждом шаге находится оптимальное значение , минимизирующее одномерную функцию по направлению антиградиента. Для двумерной функции определяют следующим образом. После определения градиента минимизируемой функции делается шаг в направлении, обратном градиенту и пропорциональный ему (чем меньше крутизна функции, тем меньше и шаг):