Решение типового примера. Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t, затем найдем интеграл и вернемся

Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t, затем найдем интеграл и вернемся к переменной x. Произведем замену переменной,

t= 4+5x, dt=5dx, dx= , тогда

Типовой пример 3.

Найти неопределенный интеграл :

Решение типового примера.

Интеграл находится методом замены переменной.

Введем новую переменную t=2x²-3, выразим подынтегральное выражение через t и найдем первообразную, после чего вернемся к старой переменной x.

.

Типовой пример 4.

Найти неопределенный интеграл ;

Решение типового примера.

Интеграл определяется методом замены переменной

.

Типовой пример 5.

Найти неопределенный интеграл

Решение типового примера.

Найдем интеграл методом замены переменной

;

Типовой пример 6

Найти неопределенный интеграл .

Решение типового примера.

Применим формулу интегрирования по частям .

Интеграл должен быть проще исходного интеграла , определив его, тем самым находят исходный интеграл.

Типовой пример 7.

Вычислить определенный интеграл ;

Решение типового примера.

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям в определенном интеграле и формулой Ньютона- Лейбница - первообразная для f(x). Кроме того, следует применять табличные интегралы

; ;

Типовой пример 8.

Вычислить определенный интеграл .

Решение типового примера.

Воспользуемся методом замены переменной в определенном интеграле и формулой Ньютона –Лейбница.

Сделаем замену переменной:

При x= 0 t=1, а при x= t=4.

Типовой пример 9.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x²

x+y-2=0

Решение типового примера.

y=x² – квадратичная функция, график парабола, вершина в т. О (0,0); ветви направлены вверх.

x+y-2=0; y=-x+2 –линейная функция, график прямая.

Найдем точки пересечения линий:

x₁=-2; x₂=1; y₁=4; y₂=1

Схематично изобразим фигуру в прямоугольной системе координат.

Площадь заштрихованной фигуры определяется формулой

S= где a, b – абсциссы точек пересечения графиков;

f₁ (x)- функция, график которой ограничивает фигуру сверху;

f₂ (x)- функция, график которой ограничивает фигуру снизу.

Таким образом

ед².

Типовой пример10.

Определить длину дуги кривой, заданной уравнением

; 0 .

Поиск по сайту: