Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Б. Построение промежуточных точек

ПЕРЕЧЕНЬ ОТВЕТОВ

на вопросы по высшей инженерной графике, выносимых на экзамен

В первом семестре 2012/2013 учебного года

(страницы указаны из пособия : «краткий курс НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ» автор Р.М.Хмелева)

1) Центральная проекция

Представление о центральной проекции можно получить, если изучить изображение, которое дает человеческий глаз.

Для построения центральной проекции объекта нужно между глазом и изучаемым предметом поместить прозрачный экран и отметить на нем точки пересечения лучей, которые идут от глаза человека к отдельным точкам предмета. При соединении всех точек на экране получаем изображение (проекцию) фигуры (рис. 2). Эта проекция называется центральной.

Центральная проекция – это проекция, которая образуется с помощью проецирующихся лучей, проходящих через одну точку.

Изображение предметов при помощи центральной проекции встречается очень часто, особенно для предметов, обладающих большими размерами.

Параллельная проекция

Параллельная проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.

При построении параллельных проекций нужно задать направление проецирующих лучей (рис. 3). На данном примере в качестве направляющего луча выбран луч l. При построении изображений через все точки проводятся прямые, параллельные установленному направлению проецирования, до точки пересечения с плоскостью проекции. Соединяя полученные точки, получаем параллельную проекцию предмета.

Параллельные проекции могут быть ортогональными или косоугольными в зависимости от направления проецирующих лучей.

Проекция называется ортогональной, если проецирующий луч перпендикулярен плоскости.

Проекция называется косоугольной, если угол наклона проецирующих лучей направлен относительно плоскости под углом, отличным от прямого.

Изображение, полученное при помощи параллельной проекции, намного меньше искажено, чем изображение, полученное с помощью центральной проекции.

 

2) c 14-16;

3)c22-25;

4)c25-27;

5)c29-32;

6)33;

7)37-46

8)46-48

9)48-53

10)54-57

11)62-64;

12)64-68;

13)68-70;

14)71-73

15)73-77;

16)92-94

17)94-97

18)101-102

19)100-101

20)97-99

21)103-106

22)99-100

23)123-124

24)119-120

25)

26)130-131

27) Пересечения прямой общего положения со сферой

Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию. Плоскость в одном месте может касаться поверхности, а в другом пересекать эту поверхность. Линия касания может одновременно являться и линией пересечения поверхности плоскостью.

28)131-132

29)131

30)

31) Для нахождения точек пересечения прямой линии с поверхностью многогранника применяется следующий прием:

  • через данную прямую проводят проецирующую плоскость;
  • строят фигуру сечения многогранника проведенной плоскостью;
  • находят точки, в которых данная прямая пересекается с очерком построенного сечения. Эти точки и будут искомыми точками входа и выхода.


На рис. показано построение точек пересечения прямой m с поверхностью пирамидыVABC. Через прямую m проведена фронтально проецирующая плоскость w (w¢¢º m¢¢), которая пересекает грани пирамиды по прямым, образующим треугольник 1 2 3. Фронтальные проекции вершин треугольников очевидны. На горизонтальной проекции строят треугольник 1¢2¢3¢ и находят точки М¢1 и М¢2 пересечения сторон 1¢3¢ и 2¢3¢ с проекцией m¢ прямой m. Затем определяем фронтальные проекции М²1 и М²2 искомых точек.

  • 32) По заданнам координатам построим проекции вершин многогранников. Определим на чертеже видимость ребер, где это очевидно
  • В данном случае призма занимает горизонтально проецируещее положение, поэтому линия пересечения многогранников на П1 совпадает с ее горизонтальной проекцией. Каждое ребро имеет 2 точки пересечения с гранями второй поверхности. Обозначим все вершины линии пересечения заданных многогранников на П1
  • Построим на П2 проекции точек, принадлежащих боковым ребрам пирамиды и определим их видимость
  • Для построения точек 7 и 8, принадлежащих вертикальному ребру призмы, проведем через него вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость сигма. Эта плоскость пересекает грань АВS по прямой KS, а грань BCS - по прямой LS. Строим указанные прямые сначала на П1, а затем на П2. Определяем фронтальные проекции точек 7 и 8, а также их видимость с учетом принадлежности соответствующим граням пирамиды
  • В данной задаче линия пересечения распадается на две замкнутые ломанные, последовательность вершин которых определяем на П1: 1-2-3-1 и 6-7-5-4-8-6. Проведем фронтальную проекцию линии пересечения с учетом видимости
  • Построим фронтальный очерк пирамиды с учетом видимости ее ребер
  • Построим фронтальный очерк призмы с учетом видимости ее ребер

 

33)Способ вспомогательных плоскостей

3адача 1 .
Построение линии пересечения двух плоскостей (поверхностей первого порядка) общего положения (рис. 4.36, 4.37).
Рис. 4.36

Линия пересечения двух плоскостей и (рис. 4.36) является прямой и, следовательно, определяется двумя точками М и N, одновременно принадлежащими обеим плоскостям. Каждая из них определяется по алгоритму, который составляется на основании общей схемы решения второй позиционной задачи. В данном случае в качестве вспомогательных поверхностей выбираются плоскости частного положения (проецирующие или плоскости уровня). Выберем, например, горизонтальную плоскость уровня Г и составим алгоритм (рис. 4.36 а), который в символической записи имеет вид:
Рис. 4.37

1) Г , Г П1
2) m = Г, n = Г;
3) М = m n
Определение второй точки N, принадлежащей линии пересечения плоскостей, выполняется по аналогичному алгоритму. Прямая, соединяющая точки М и N, является искомой.
Построение.
Графическая реализация обоих алгоритмов, то есть решение задачи на комплексном чертеже, показана на рис. 4.36, б.
Ели пересекающиеся плоскости (или одна из них) заданы многоугольниками, например ABC и DEFK
(рис. 4.37), то построение линии МN их пересечения значительно упрощается, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить не произвольно, а через какие-либо две из сторон многоугольников. Сторона многоугольника (например, (АВ) на рис. 4.37), через которую проведена вспомогательная проецирующая плоскость Г, является уже линией пересечения плоскости Г и треугольника АВС. Остается лишь найти линию (1 - 2) пересечения плоскости Г со вторым многоугольником DEFK. Точка М пересечения линий (АВ) и (1 - 2) является искомой. Аналогично определяется вторая точка N линии пересечения.
Легко заметить, что в этом случае решение задачи сводится к последовательному решению двух первых позиционных задач (см выше в данном разделе). Видимость проекций многоугольников АВС и DEFK на П2 определена с помощью фронтально конкурирующих точек 2 и 7, на П - с помощью горизонтально конкурирующих точек 5 и 6.

Задача 2.
Построение линии пересечения многогранника с плоскостью. Линия пересечения многогранника плоскостью (рис. 4.38) является плоской ломаной линией, вершины которой - точки пересечения ребер, а стороны - линии пересечения граней многогранника с плоскостью. В соответствии с этим искомая линия может быть определена двумя частными способами, вытекающими из основного:
Рис. 4.38

1) построением линий пересечения граней многогранника с плоскостью, т. е. многократным решением второй позиционной задачи;
2) построением точек пересечения ребер многогранника с плоскостью, т. е. многократным решением первой позиционной задачи1.
Второй способ, являясь частным случаем первого (см. предыдущую задачу), графически более прост. Кроме того, вершины ломаной являются опорными точками линии пересечения, и их желательно получить непосредственно построением. Поэтому второй способ построения линии пересечения многогранника с плоскостью является предпочтительным.
Графическое решение задачи на построение линии пересечения пирамиды SАВС с плоскостью общего положения b) показано на рис. 4.39.
Рис. 4.39

Построение вершин К, L и М ломаной выполнено по алгоритму первой позиционной задачи. Например, алгоритм для определения точки К имеет вид:
1) (SА), П1;
2) (1,2) = ;
3) К = (1, 2) (SА) = (SА).
Точки L и М определены аналогично. Полученные проекции вершин соединены прямыми c учетом их видимости относительно П1 и П2.
Задача 3.
Построение линии пересечения кривой поверхности с плоскостью.
Линия (рис. 4.40) пересечения кривой поверхности Ф с плоскостью представляет собой плоскую кривую.
Рис. 4.40

Построение опорных (А, В, С и D)) и промежуточных (3 и 4) точек кривой l выполняется в соответствии со схемой, данной в начале п. 2.3 данного параграфа. В качестве вспомогательных поверхностей выбирают плоскости, положение которых в пространстве определяется условиями, также изложенными ранее.

3.1. Построение линии пересечения конуса вращения плоскостью общего положения b) показано на рис. 4.41.

План решения:
А. Определение опорных точек
1. Для определения высшей А и низшей В точек кривой пересечения в качестве вспомогательной выбрана плоскость - общая плоскость симметрии конуса и плоскости b). Построение этих точек на чертеже выполнено в соответствии с алгоритмом:
Рис. 4.41

а) проведена горизонтально проецирующая плоскость , проходящая через ось конуса и перпендикулярная плоскости b); h, h ;
б) определены образующие (S1') и (S2') и линия (3 - 4) пересечения плоскости соответственно с поверхностью конуса и плоскостью b);
в) отмечены точки А и В пересечения полученных линий.
2. Для определения очерковых точек С и D (точек смены видимости кривой относительно П2) в качестве вспомогательной выбрана фронтальная плоскость уровня , проходящая через ось конуса и пересекающая его по очерковым относительно П2 образующим (S7) и (SЗ), а плоскость b) - по фронтали f(5 - 6). Построение этих точек ясно из чертежа: f S7 = С и f S8 = D.
Б. Определение промежуточных точек
Для построения промежуточных точек использованы горизонтальные плоскости уровня Г', Г", пересекающие конус по окружностям, а плоскость b) - по горизонталям, и т. д. в соответствии со схемой.

3.2. Построение линии пересечения наклонного эллиптического цилиндра с плоскостью общего положения Г(a b) представлено на рис. 4.42.
Определение опорных и промежуточных точек выполнено по однотипному алгоритму. В качестве вспомогательных выбраны фронтальные плоскости уровня, пересекающие цилиндр по тем образующим, на которых лежат искомые точки.
Рис. 4.42

Очерковые относительно П1 (точки А и В) найдены с помощью плоскостей и '. Очерковые относительно П2 (точки С и D) - с помощью плоскости . Высшая и низшая (точки E и F) - с помощью плоскостей и '. Положение образующих m и n, через которые проведены плоскости и ', определено из условия, что касательные к кривой в точках Е и F являются горизонталями плоскости Г(а b). Касательные t и t' к основанию цилиндра, проведенные параллельно произвольной горизонтали h плоскости Г, определяют искомые образующие.

3.3.Пример построения линии пересечения сферы с проецирующей плоскостью приведен на рис. 4.43.

Рис. 4.43

Построение выполнено в соответствии с общей схемой. Решение можно выполнить ни основании принадлежности точек линии пересечения поверхности сферы (по заданной фронтальной проекции линии пересечения определить ее горизонтальную проекцию).

3.4. Построение линии пересечения конуса вращения с плоскостью общего положения Г(а b) с использованием способа замены плоскостей проекций показано на рис. 4.44. Система П21 заменена системой П41, в которой плоскость Г является проецирующей. П4 h Г; П4 Г.
В системе П41 выполнено построение экстремальных А и В и промежуточных точек линии пересечения.
Рис. 4.44

Обратным преобразованием построены проекции этих точек на плоскости П2. Очерковые точки С и D определены так же, как показано в задаче, данной на рис. 4.41.
Вид линии, которая должна получиться при пересечении кривой поверхности c плоскостью, во многих случаях можно предусмотреть.

 

34)Плоские сечения некоторых поверхностей вращения

1. Сфера пересекается с плоскостью всегда по окружности.
2. Цилиндр вращения пересекается с плоскостью , образующей с его осью угол 90o, по эллипсу. В частном случае, если угол = 90o - по окружности, если плоскость параллельна оси цилиндра - по двум прямым.
3. При пересечении конуса второго порядка с плоскостями могут быть получены все виды кривых второго порядка: эллипс, парабола и гипербола. Эти линии называются коническими сечениями.
а) Если плоскость пересекает все образующие конуса вращения, то в общем случае в сечении получается замкнутая кривая второго порядка, не имеющая бесконечно удаленных точек, - эллипс (рис. 4.41, 4.44, 4.45, а). В частном случае, когда плоскость займет положение ', перпендикулярное оси конуса вращения, - окружность. Если плоскость " проходит через вершину конуса, то эллипс вырождается в точку.
Рис. 4.45

б) Если плоскость параллельна двум образующим l и l' конуса (рис. 4.45, в), то в сечении получается кривая второго порядка, имеющая одну бесконечно удаленную точку, - парабола. В частном случае, когда плоскость , перемещаясь параллельнo самой себе, займет положение ' (коснется конуса по образующей l ), парабола вырождается в двойную прямую.
в) Если плоскость параллельна двум образующим l и l' конуса (рис. 4.45, в), то в сечении получается кривая второго порядка, имеющая две бесконечно удаленные точки, - гипербола. В частном случае, когда плоскость , перемещаясь параллельно самой себе, займет положение ' (пройдет через вершину конуса), гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых.
4. Любая плоскость пересекает гиперболоид вращения по коническому сечению такого же вида, по которому она пересекает асимптотический конус.
5. Тор пересекается плоскостями, перпендикулярными оси вращения или проходящими через нее по двум окружностям (рис. 2.3.50 - плоскости и Г ). Плоскость , касающаяся поверхности в двух точках, пересекает ее тоже по двум окружностям.

Задача 4. Построение линии пересечения двух многогранников (рис. 4.46).
В зависимости от взаимного расположения многогранников, возможны два вида их пересечения - врезка и проницание.
Врезкойназывается такой вид пересечения многогранников, при котором в пересечении принимает участие часть ребер каждого из них; при этом линия пересечения представляет собой одну замкнутую пространственную ломаную.
Рис. 4.46

Проницанием называют такой вид пересечения многогранников, при котором в пересечении принимают участие все ребра одного из них и только часть ребер второго; при этом линия пересечения распадается на две замкнутые ломаные. В некоторых случаях одна из них или обе могут быть плоскими многоугольниками. При проницании возможны случаи, когда получающиеся в пересечении две замкнутые ломаные линии имеют одну или две общие точки.
Однако во всех случаях вершинами ломаной будут точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго многогранника - с гранями первого, а сторонами - отрезки прямых, по которым пересекаются грани обоих многогранников. Решение задачи заключается в нахождении вершин или сторон ломаной. В первом случае задача сводится к многократному построению точки пересечения прямой (ребра) с плоскостью, во втором - к многократному построению линии пересечения двух плоскостей.
На рис. 4.46, 1 показана динамическая схема взаимного пересечения двух многогранников.

Рис. 4.46, 1.

Таким образом, оба приема построения линии пересечения двух многогранников являются применением основного способа построения линии пересечения ловерхностей (см. задачи 1 и 2 п. 2.3) и осуществляются по схеме, данной в начале п. 2.3. В большинстве случаев при решении задачи определяют вершины ломаной (опорные точки линии пересечения), а затем соединяют - отрезками прямых те пары вершин, которые принадлежат одной и той же грани первого многогранника и одновременно одной и той же грани второго.
Примечание.
Выше уже указывалось, что проекции линии пересечения могут располагаться только в пределах наложения очерков одноименных проекций пересекающихся поверхностей. Поэтому, приступая к решению задачи, желательно выявить у обоих многогранников такие ребра, которые заведомо не участвуют в пересечении.
Алгоритм построения вершин ломаной аналогичен алгоритму задачи 2 п. 2.3. В задаче на построение линии пересечения пирамиды SАBС и призмы DEFD'E'F', данной на рис. 4.46, построение вершин К, L, М, N, Р, R (точек пересечения ребер пирамиды с поверхностью призмы) выполнено без применения вспомогательных плоскостей, на основании решения первой вспомогательной позиционной задачи (п. 2.1 данного параграфа).
Построение вершин Т и Q ломаной (точек пересечения ребра FF' призмы с поверхностью пирамиды) выполнено по алгоритму:
1) (FF') и S; П1;
2) (S - 1 - 2) = SАВС ;
3) Т = (S - 1 - 2) (FF') = SАВС (FF');
Q = (S - 1 - 2) (FF') = SАВС (FF').
Проекции сторон ломаной проведены с учетом их видимости на чертеже. Видимыми относительно той или иной плоскости проекций считаются те стороны ломаной, которые являются линией пересечения двух видимых относительно этой плоскости проекций граней многогранников.
Полученные вершины соединены в соответствии с приведенным выше правилом; линия пересечения состоит из двух ломаных: треугольника КLМ и пространственной ломаной NQRPT.
Рис. 4.47

На рис. 4.47 приведен еще один пример на построения линии пересечения двух многогранников. Разберите этот пример самостоятельно.

Задача 5.Построение линии пересечения многогранной и кривой поверхностей.
Линия пересечения многогранной и кривой поверхностей является совокупностью нескольких плоских кривых, каждая из которых - результат пересечения кривой поверхности с одной из граней многогранника (рис. 4.49). Эти плоские кривые попарно пересекаются в точках пересечения ребер многогранника с кривой поверхностью. В случае проницания эта совокупность плоских кривых распадается на две части или более. Построение каждой из этих линий выполняется в соответствии с указаниями, данными в начале п. 2.3. Алгоритмы построения опорных и промежуточных точек аналогичны задаче 3 п. 2.3 (рис. 4.41, 4.44), задаче 3 п. 2.2 (рис. 4.30) данного параграфа. На рис. 4.49 показано построение на комплексном чертеже линии пересечения поверхностей пирамиды SMNPQR и конуса вращения.
Рис. 4.49

План решения:

А. Определение опорных точек
а) Очерковые относительно П1 точки A, В, С и D определены с помощью фронтальной плоскости уровня , пересекающей конус по образующим. Эта плоскость пересекает грань SMR пирамиды и проходит через ребро SP и т. д. по схеме.
б) Так как плоскость является общей плоскостью симметрии обеих поверхностей, точки А и D являются высшими, а С и В - низшими.
в) Так как проходит через ребро SP пирамиды, точки А и В являются точками пересечения этого ребра с поверхностью конуса (в них пересекаются плоские кривые АFВ и АЕВ, принадлежащие смежным граням пирамиды).
г) Очерковые относительно П1 точки Е, F, К и L определены с помощью горизонтальной плоскости уровня Г, пересекающей конус по соответствующим контурным образующим, а пирамиду - по пятиугольнику 3 - 4 - 5 - б - 7 и т. д. по схеме. Горизонтальные проекции Е1 F1 К1 L1 этих точек являются точками смены видимости проекций каждой плоской кривой на П1. Видимой на П, будет проекция той части кривой, которая расположена выше плоскости Г.

Б. Построение промежуточных точек

При построении промежуточных точек в качестве вспомогательных применялись фронтально проецирующие плоскости, проходящие через вершину S' конуса. На чертеже показано построение точек 1, 1' и 2, 2' с помощью фронтально проецирующих плоскостей и ', пересекающих соответственно конус по образующим (S' - 14), (S' - 15) и (S' - 16), (S' - 17), а грани SNP и SPQ пирамиды - по прямым (8 - 9), (8 - 10) и (11 - 12), (11 - 13). Из чертежа видно, что совокупность плоских кривых пересечения распалась на две части: плоскую кривую CDLK (эллипс) и совокупность двух плоских кривых АЕВ и АFВ (частей эллипсов). Такой случай называется проницанием. Так как общая плоскость симметрии параллельна П2, фронтальные проекции кривых АЕВ и АFВ совпали, а так как грань SMR пирамиды - фронтально проецирующая плоскость, проекция кривой СLDЕВК на П2 выродилась в прямую.

Задача 6.Построение линии пересечения двух кривых поверхностей.
Линия пересечения двух кривых поверхностей (рис. 4.48) в общем случае (случай врезки) представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две части или более (случай проницания). Точки этой линии (опорные и промежуточные) определяются при помощи основного способа построения линии пересечения поверхностей, изложенного в начале п. 2.3, по схеме, приведенной там же.
На рис. 4.48 показано построение линии пересечения конуса вращения и части сферы.
Очерковые точки А и В определены с помощью фронтальной плоскости . Их фронтальные проекции А2 и В2 являются точками смены видимости фронтальной проекции линии пересечения.
Рис. 4.48

Высшая и низшая точки С и Е определены с помощью горизонтально проецирующей плоскости , которая является общей плоскостью симметрии обеих поверхностей и проходит через ось конуса и центр сферы. Для упрощения построений использован способ замены плоскостей проекций. Заменена плоскость П2 на П4, причем П4 .
Очерковые точки относительно П3 (Е и F) определены с помощью профильной плоскости . Промежуточные точки построены с помощью горизонтальных плоскостей. На рис. 4.49 показаны точки 1 и 2, найденные с помощью плоскости Г.

 

35) Теорема Монжа.

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. В соответствии с этой теоремой цилиндры одинакового диаметра имеют общую касательную сферу, пересекаются по двум эллипсам m(m2) и n(n2) рис. 15(а, в).

Линия пересечения конуса и цилиндра, описанных около сферы (рис. 15 б), распадается на два эллипса m(m2) и n(n2).

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.