Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Приложение определенного интеграла



 

Рассмотреть решение типовых примеров

а). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

х=-2, х=1, у=0, у=2х.

Решение. Построим данные линии. Фигура состоит из двух треугольников, расположенных по обе стороны от оси Ох, найдем площадь каждого из них с помощью интегралов.

, ,

(кв. ед.)

б). Найти площадь S фигуры, заключенной между параболами

у2=2рх и х2=2ру.

Решение. Параболы пересекаются в точках О(0,0) и А (2р,2р). Тогда искомая площадь вычисляется по формуле .

= = (кв. ед.)

в). Вычислить длину дуги кривой , .

Решение. Длина дуги вычисляется по формуле

или .

Вычислим производную исходной функции

= .

Подынтегральная функция будет равна = .

С учетом имеем = и .

= = = .

г). Найти объем сегмента параболоида вращения вокруг оси Ох по радиусу основания r и высоте h.

Решение. Согласно условию задачи парабола у2=2рх вращается вокруг оси Ох, образует параболоид вращения с заданной высотой h и радиусом r. Значит, х=h, у2=r2. Тогда r2=2рh и меридиан (парабола) параболоида имеет вид . Объем тела вращения вокруг оси Ох вычисляется по формуле .

= , т.е. сегмент параболоида составляет по объему половину цилиндра с тем же основанием и той же высотой.

 

Задания для аудиторной работы

 

1. Вычислить площадь эллипса .

2. Вычислить площадь одной арки циклоиды .

(Применить формулу ).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

1). у=х3, у=х2, х=-2, х=1. 2). , у=х, х=-2.

3) у=2х-х2, у=0, х=3 4) у=-х2-4х, у=0, х=-3, х=-1

5) у=х2, , х=3, у=0. 6) , у=4х, ,

 

4. Вычислить приближенное значение интеграла с точностью до 0,001 методом прямоугольников и трапеций.

 

5. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ох криволинейных трапеций, ограниченной линиями:

1) y=arcsinx, y=1, x=0. 2) y=sinx, y=0, 3)

6. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=arcсosx, y=0, x=0, у=π.

7. Найти площадь поверхности вращения, полученной при вращении вокруг оси Ох кривой у=х3 при

Семинарское занятие 3.7.

Несобственные интегралы

Рассмотреть решение типовых примеров

а). Вычислить несобственный интеграл I= или доказать его расходимость.

Решение. I= =

= = =1

Значит, несобственный интеграл является сходящимся.

б). Вычислить несобственный интеграл I= или доказать его расходимость.

Решение. I= = = == = .

Следовательно, несобственный интеграл является расходящимся.

Задания для аудиторной работы

 

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

13) 14)

 

Контролирующий блок

1. Дописать определение:

«Функция F (х) называется первообразной от функции f (x) на отрезке [a, b], если…»

 

A. во всех точках этого отрезка она существует, непрерывна и равна f(x)

B. ; C. ;

D. во всех точках этого отрезка выполняется равенство F / (х) = f(x);

Е. ответ отличен от приведенных утверждений.

 

2. Каков геометрический смысл первообразной F(х) от функции f (x)?

 

A. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у= f (x) в произвольной точке;

B. Кривая у = F (х), у которой угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению f (x) заданной функции в этой точке;

C. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у= f (x) в конкретной точке х0;

D. Площадь фигуры, ограниченной линиями у= f (x), х=а, х=b, у=0;

E. Ответ отличен от приведенных.

 

3. Вычислить первообразную от функции f (x) = x2+x-2.

 

A. x3+x2-2x; B. 2x+1; C. ; D. –2;

E. Нет первообразной от данной функции.

 

4. На каком из рисунков графики функций могут быть графиками первообразных для одной функции:

 

 

A. ; B. ; C. ; D. E. .

 

5. График первообразной функции у =1/х не может проходить через точку:..

 

A. (1; 1); B. (-1; 5); C. (e; 1000); D. (-e2; 0); E. (0; 1).

 

6. Что называется неопределенным интегралом?

 

A. Выражение, которое обозначается символом ;

B. Равенство =F (х), если F / (х) = f (x);

C. Если функция F (х) является первообразной для f (х), то выражение F (х)+С называется неопределенным интеграломот функции f (x);

D. Все определения A, B, C являются ответом;

E. Среди приведенных нет заданного определения.

 

7. Для всякой ли функции f (x) существуют первообразные (неопределенный интеграл)? Выбрать ответ из следующих утверждений:

§ а) если функция f (х) непрерывна на [a, b];

§ б) если функция f (х) определена, ограничена на [a, b] и имеет конечное число точек разрыва I рода;

§ в) если функция f (х) монотонная на [a, b];

§ г) если функция f (х) элементарная на [a, b];

§ д) любая функция имеет первообразную.

 

А. Только а); В. д); С. а), б), в); D. г); Е. Только б), в).

 

8. Какое из выражений не является свойством неопределенного интеграла?

 

А. ; B. ;

C. ; D. ;

E. Если а – соnst, то .

 

9. Чему равняется интеграл ?

 

А. ; B. 2-3(1/cos2х)-(1/4)х –3/2;

C. ; D. 2+3(1/cos2х)+(1/4)х –3/2;

E. Ответ отличен от приведенных вариантов.

 

10. Интегралы, каких из следующих функций, вычисляются в квадратурах только методом интегрирования по частям?

 

A. ; B. ; C. ; D.ех sinx; E. sin2x∙cosx.

 

11. Какое из следующих утверждений верно?

 

A. Если существует общий предел всех интегральных сумм непрерывной функции f (x) на [a, b] при n→∞ и при стремлении к нулю длины наибольшего частичного отрезка, независящий от способа разбиения [a, b] на n частичных отрезков и выбора в них точек ξi, то он называется определенным интегралом от f (x) в пределах от a до b;

B. Интегральная сумма функции f (x) не зависит от способа разбиения [a, b] на n частичных отрезков и выбора в них точек ξi;

C. Определенным интегралом функции f (x) на [a, b] называется неопределенный интеграл этой функции, вычисленный в пределах интегрирования от a до b;

D. Функция Дирихле f (x)= где хє[a, b] интегрируема на [a, b];

E. Формула Ньютона- Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид .

 

12. Какие свойства определенного интеграла записаны с ошибкой?

1. , 2. , 3. ,

4. , 5. .

 

А. 1; B. 2; C. 3,4,5; D. Нет ошибок; E. Все пять свойств.

 

13. Какое свойство определенного интеграла называется «теоремой о среднем значении»? Полагаем далее, что а<b.

 

A. Если f(x)≥ 0 на[a,b], то ≥ 0;

B. Если f(x)≤ g(x) на[a, b], то ;

C. ;

D. M-max, m-min ф-ии f(х) на [a,b], то

;

E. Если ф-я f(х)- непрерывна на [a,b], (а<b), то существует такая точка сє[a,b], что =f(с)(b-a).

 

14. Какой знак следует поставить между интегралами

и ,

чтобы получить правильное соотношение?

 

A. >; B. <; C. =; D. ≤; E. ≥.

 

15. Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную и принимает равные значения в точках х = а, х = b. Чему равен интеграл ?

A. f /(b) - f /(а); B. f(x); C. f /(а) - f /(b); D. 0;

E. Определить нельзя.

 

16. Какой интеграл можно вычислить заменой х=2sin t и он будет равен π?

 

A. ; B ; C. ; D. ; E. .

 

17. Какой подстановкой вычисляется интеграл ?

Подстановка: 1) t=1+ln x, 2) x = et, 3) t = ln x.

A. Ни одной из предложенных; B. Всеми предложенными;

C. Только 1); D. Только 2); E. Только 3).

 

18. Какое из утверждений может быть определением несобственного интеграла?

§ 1) Несобственные интегралы - интегралы с бесконечными пределами или от функций, имеющих разрывы II рода на отрезке интегрирования;

§ 2) Несобственные интегралы – обобщенное понятие определенного интеграла;

§ 3) Несобственные интегралы – неопределенные интегралы, вычисленные посредством предельного перехода в точках разрыва подынтегральной функции.

 

А. 1); В. 2); С. 3); D. Все; Е. Ответ отличен от приведенных.

 

19. Установить сходимость интегралов 1) , 2) .

 

A. Установить сходимость невозможно; B. Оба сходятся;

C. Оба расходятся; D. 1) сходится, 2) расходится;

E. 1) расходится, 2) сходится.

 

20. Какой из следующих интегралов является несобственным:

1) 2) 3) 4) ?

 

А. Ни один; В. 1) и 4); С. 2) и 4); D. 2) и 3); Е. 1) и 2).

21. По формуле S = нельзя вычислить площадь фигуры, изображенной на рисунке:

 

А. В. С.

Д. Е.

 

22. Площадь заштрихованной фигуры равна…

 

А. ; В. ; С. ; Д.− ;

Е. .

 

23. На каком из рисунков изображена фигура, площадь которой равна ?

А. В. С. Д. Е.

 

24. Фигура, площадь которой равна , изображена на рисунке…

 

A. B. C. D. E.

 

25. Какой из интегралов вычисляет объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: у2=2рх, х=а, вокруг оси Ох?

 

A. ; B. ; C. ; D. ;

E. Объем этой фигуры определить не возможно.

 

26. Вообще говоря, в экономических задачах переменные меняются дискретно. В связи с этим как возможно применение интегралов в экономических задачах?

 

A. Скорее всего, возможно, если интегралы вычислять приближенно;

B. Возможно, если составить некоторую идеализированную модель, предполагающую непрерывное изменение зависимых и независимых переменных;

C. Возможно, хотя бы в тех случаях, когда требуется по известным предельным величинам в экономике находить саму функцию;

D. В любом случае без каких-либо предположений;

E. Дискретность переменных не вызывает дополнительных предположений о возможности применения интегралов в экономических задачах.

 

27. Дана функция предельных издержек МС= 3g2-48g+202, 1≤ g ≤ 20. Найти функцию издержек C(g).

 

A. С(g) = g3-24g2+202g-179; B. С(g) = 11381; C. С(g) = 6g-48;

D. С(g) = 72; E. С(g) = g3-24g2+202g.

 

28. Определить дисконтированный доход K за три года при процентной ставке 8%, если капиталовложения задаются функцией f(t)=10+t. K = …

 

A. ; B. ;

C. ; D. ; E. .

 

29. Вычислить приближенно по формулам прямоугольников интеграл I= , разбивая отрезок интегрирования на 10 равных частей.

 

А. -50; В. ≈ 50; С. Только 45; D. Только 55; Е. 45 или 55.

 

30. Тело движется по прямой со скоростью V(t)= 2t-4, где V – скорость (м/с), t – время (с). Перемещение тела за промежуток времени [0; 6] равно:

 

А.–6; В. 12; С. 54; D. 42; Е. Ответ отличен от приведенных.

 

Литература

 

1. Ведина О. И., Десницкая В. Н., Варфоломеева Г. Б., Тарасюк А. Ф. Математика. Математический анализ для экономистов. Учебник / Под ред. А. А. Гриба и А. Ф. Тарасюка – М.: Информационно-издательский дом «Филинч», Рилант, 2006.

2. Ермаков В. И. и др. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник / Под ред. В. И. Ермакова – М.: ИНФРА – М, 2001.

3. Ермаков В. И. и др. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Учебник / Под ред. В. И. Ермакова – М.: ИНФРА – М, 2001

4. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. Учеб. – 2-е издание испр. – М.: Дело, 2001.

5. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера, - М.: ЮНИТИ, 2005.

6. Кремер Н.Ш. и др. Практикум по высшей математике для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера, - М.: ЮНИТИ, 2005.

7. Кузнецов А. В. и др. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учебное пособие / А.В. Кузнецов, Д. С. Кузнецов, Е. И. Шилкина и др. – Мн.: Высшая школа, 2001.

8. Миселимян Т. Л. Интегральное исчисление. Уч.-мет. пособ. Краснодар. 2011.

9. Миселимян Т. Л. Тренировочные тесты по математике. Ч 1, 2. Уч.-мет. пособ. Кр-р. 2006.

Учебное издание

 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.