Лекция 3.5 «Определенный интеграл»

Вопросы:

1.Геометрическое приложение определенного интеграла.

2.Приложение определенного интеграла в экономических задачах

1). На отрезке [a, b], функция f (х) ≥0. (Рис.2).Площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, прямыми х=а, х=b и графиком функции у= f (х), будет численно равна .

2). На отрезке [a, b], функция f (х) ≤0. (Рис.3). Площадь фигуры, ограниченной осью Ох, прямыми х=а, х=b и графиком функции у = f (х) будет численно равна .

3). Площадь фигуры, ограниченной осью Оу, прямыми у=с, у=d и кривой , (Рис. 4.) численно равна .

Рис. 2. Рис. 3. Рис. 4.

4). На отрезке [a, b], функция f (х) – непрерывная и имеет как положительные, так и отрицательные значения. (Рис.5). Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х=а, х=b и кривой у= f (х) будет равна сумме площадей S=S₁+S₂ = .

Рис.5. Рис.6.(а) Рис.6 (б) Рис.6 (в) Рис.6 (г)

5). Пусть на отрезке [a, b], заданы непрерывные функции у = f (х) и у = g(x) такие, что f (х) ≥ g(x). Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=b, кривыми у= f (х) и у= g(x), вычисляется по формуле .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х, . (Рис.7). =4,5 (кв. ед).

Рис.7. Рис.8.

Пусть на отрезке [a, b], задана непрерывная, знакопостоянная функция у = f (х). Криволинейная трапеция, ограниченная линиями х=а, х=b, у=0, у = f (х), вращается вокруг оси Ох. В результате получено тело вращения. (Рис.8). Разобьем отрезок [a, b] точками . Выберем в каждом отрезке [x_i-1, x_i] произвольную точку ξ_i. , где - объем цилиндра с высотой .V_x= = .

Объем V_y тела вращения вокруг оси Оу: V_у= .

Пример. Найти объем тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=х², у=х³.

= =0,1π (куб.ед). Рис.9.

Приложение определенного интеграла в экономических задачах.

1. Вычисление объема продукции в зависимости от производительности производства.

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найти объем продукции q, произведенной за промежуток времени [0, T].

Если - константа, то объем продукции ∆q за время [t, t+∆t] равен ∆q=с∙∆t. В общем случае объем продукции за время [0, T] равен .

2. Вычисление затрат на хранение запасов сырья на складе предприятия.

Предположим, что сырье завозится на склад партиями объемом Р единиц в момент, когда все сырье из предыдущей партии израсходовано. Затраты на хранение 1 ед. сырья в течение 1 ед. времени постоянны и равны с. Вычислить затраты на хранение сырья одной партии при условии, что сырье расходуется на складе непрерывно.

Пусть Т₁ – момент поступления на склад очередной партии сырья, Т₂ - момент поступления следующей партии, у=Р(t) – уровень запаса сырья на складе в момент tє[T₁, T₂], Р(t) – непрерывная функция и Р(Т₁)=Р, Р(Т₂)=0. Тогда затраты на хранение сырья в течение времени [T₁, T₂] равны

3. Определение функции издержек по данной функции предельных издержек.

Предельные издержки задаются формулой МС=С^/(q), где С(q) – функция издержек. Ее надо найти. , С₀ – const.

4. Дисконтированная стоимость денежного потока.

Определение. Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной за t (лет) при годовом проценте (процентной ставке) р, называется дисконтированием.

Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капиталовложений. Предположим, что K_t – конечная сумма, полученная за t лет, К – дисконтная сумма, i=p/100 – удельная процентная ставка. Если проценты простые, то , в случае сложных процентов .

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t) и при удельной норме процента i процент начисляется непрерывно. То .

Поиск по сайту: